Calculer l'aire des Lunules d'Hippocrate

Soit un triangle ABC rectangle en A avec K milieu du segment [CB], I au milieu du segment [AC] et J au milieu du segment [AB].

Traçons les demi-cercles de centre K et de diamètre [BC], de centre I de diamètre [AB] et de de centre J et de diamètre [AC].

Les deux surfaces en forme de croissants délimités par les demi-cercles sont appelées les Lunules d'Hipocrate. Calculons leurs surfaces.

comment publié : 24/02/2013 à 14:12:10 - auteur : Webmaster



Pour calculer l'aire de la surface des 2 lunules (en jaune), il suffit aux surfaces S1 et S2 des 2 demi disque de diamètres [AC] et [AB] et à la surface SABC du triangle ABC de soustraire l'aire de la surface S3 du demi disque de diamètre [BC].

L'aire des 2 lunules est égale à : S1 + S2 + SABC − S3 notons (1) cette relation.

En nommant respectivement a,b,c les mesures des segments [AC], [AB] et [BC] on obtient :

S1 = ½π.b² ; S2 = ½π.c² et S3 = ½π.a²

L'aire de la surface SABC = b × a ÷ 2 = ½bc

La propriété de Pythagore nous donne : b² + c² = a² d'où ½π.(b² + c²) = ½π.a² d'où ½π.b² + ½π.c² = ½π.a²

Donc on obtient : S1 + S2 = S3

D'où (1) devient :
S1 + S2 + SABC − S3 = S3 + SABC − S3 = SABC = ½bc


L'aire de la surface des deux lunules est donc égale à l'aire de la surface du triangle ABC.

réponse publiée : 24/02/2013 à 20:33:32 - auteur : Webmaster

il n'y aurait pas une façon beaucoup plus simple de calculer ?

réponse publiée : 11/09/2013 à 15:32:58 - auteur : anonyme


Je n'ai absolument rien compris avec ces histoires de Sabc... :(

réponse publiée : 16/02/2014 à 15:11:59 - auteur :


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Quelle est la demi somme de 7 et 6 : utiliser le point "." comme séparateur des décimales

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