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L'apothème d'une pyramide

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Comment calculer l'apothème d'une pyramide

Considérons une pyramide réguliere à base carrée dont les cotés c mesurent 8 cm et dont la hauteur h mesure 10 cm. Comment calculer la mesure de l'apothème d et la mesure d'une arête a ?
Nous poursuivrons par le développement de la surface latérale de la pyramide, afin d'en calculer son aire.

Question publié : 14/02/2013 à 16:20:13 - auteur : Webmaster

Une pyramide est réguliére lorsque sa base est un polygone régulier et que le pied de la hauteur coïncide avec le centre de la base. Dans la figure représente ci-dessus la pyramide est une pyramide régulière à basse carrée.

Dans une pyramide régulière les arêtes sont toutes égales et les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur SK du triangle SBC est appelée l'apothème de la pyramide.
Remarque : le triangle SBC étant isocèle, la hauteur SK est aussi la médiane et la médiatrice du segment [BC].

Dans le triangle SHK, on a :

SH = 10 cm et HK = 8÷2 = 4

Comme le triangle SHK est rectangle H, nous pouvons utiliser la propriété de Pythagore :

SK² = SH² + HK²
SK² = 10² + 4² = 116

d'où

SK = √116 = 2√29 ≈ 10,77 cm.

Dans le triangle SHA rectangle en H, nous utilisons aussi l'égalité de Pythagore :

SA² = SH² + HA²

SH = 10 cm

AC est la diagonale d'un carré de coté 8 cm donc AC = 8√2 cm d'où HA = 4√2 cm.

alors SA² = 10² + (4√2)² = 100 + 16×2 = 132 et de là SA = √132 = 2√33 ≈ 11,49 cm.

Conclusion : l'apothème est égal à 10,77 cm et une arête est égale à 11,49 cm.

réponse publiée : 14/02/2013 à 19:01:44 - auteur : Webmateur

On peut ajouter le calcul de la surface latérale de la pyramide. Cette surface est composée de 4 triangles isocèles dont on connait la base c (le coté de la base de la pyramide) et une hauteur a (l'apothème de la pyramide).

La surface latérale de la pyramide est donc égale à : 4×(c×a/2) = 4c.a/2 = p.a/2 où p est le périmètre de la base.

L'aire latérale d'une pyramide régulière est égale au demi-produit du périmètre de la base par l'apothème.

Dans notre exemple : S = 4×8×10,77÷2 = 16×10,77 = 172,32 cm².

réponse publiée : 14/02/2013 à 20:29:27 - auteur : Webmaster

Nous pouvons terminer par son volume V = c × h ÷ 3 = 8² × 10 ÷ 3 = 213,33 cm³.

réponse publiée : 14/02/2013 à 20:33:03 - auteur : Webmaster

Merci beaucoup, très utile...

réponse publiée : 14/12/2014 à 10:46:54 - auteur : webloser

Merci bcp!!!

réponse publiée : 02/11/2015 à 17:06:26 - auteur :

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