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Surface et le volume d'une calotte sphérique

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Sphère et plan en coupe

Considérons une sphère de centre O, un plan ne passant pas par le centre O coupe la surface sphérique selon une ligne dont tous les points sont à la même distance R du centre O de la sphère. Ces points sont à la même distance du pied de la perpendiculaire menée du centre O de la sphère au plan P : Le plan coupe la sphère selon un cercle (C) dont H est le centre et r le rayon ici HA.

Nous pouvons calculer le rayon r si on connait le rayon R et la distance OH. Nous continuerons par la surface de la calotte sphérique et son volume.

Question publié : 14/02/2013 à 21:20:55 - auteur :

En appliquant la propriété de Pythagore au triangle OHA rectangle en H, nous obtenons :

r = √(R² - OH²) en nommant d la distance OH on a : r = √(R² - d²)

En nommant h la hauteur de la calotte (R = d + h ), on obtient aussi : r² = R² - (R-h)² = 2Rh - h²

La surface sphérique de la calotte est égale à S = 2πRh.

Le volume de la calotte est égal à V = πh²(3R - h)÷3.

démonstration :

En suivant la même méthode que pour la démonstration du segment sphérique de la page suivante volume d'un segment sphérique il suffit d'effectuer la somme entre 0 et h, on obtient alors :

0hπ(2Rx - x²)dx = [π(Rx² - x³/3)]0h = π(Rh² - h³/3) = πh²(3R - h)÷3 ou encore

formule du volume d'une calotte spherique

réponse publiée : 15/02/2013 à 10:05:45 - auteur : Webmaster

En remplaçant dans cette formule h par R, nous obtenons la formule d'une demi sphère et de là la formule de la sphère complète, que nous avons donc démontré facilement sans outils mathématiques trop importants.

réponse publiée : 18/02/2013 à 11:36:01 - auteur : Webmaster

Reste à démontrer la formule de surface sphérique de calotte, si je pouvais avoir de l'aide merci d'avance.

réponse publiée : 18/02/2013 à 11:37:20 - auteur : Webmaster

Bonjour, j'ai un exercice où un aquarium est considéré comme une calotte sphérique, il manque 4 cm pour avoir une sphère complète et on me demande de calculer la hauteur de l'aquarium h. Je sais pas si c'est important, mais le fond qui est aplati est négligé.

réponse publiée : 14/03/2013 à 09:29:06 - auteur : Charlotte

Si j'ai bien compris l'aquarium ressemble à ça :



Dans ce cas il nous manque au moins une donnée celle du rayon R. Supposons que le rayon soit égal à 15 cm, alors nous pouvons déduire facilement la hauteur h = 30 − 4 = 26 cm et de là le volume de l'aquarium en négligeant le fond aplati :

V = 1/3×π×26²×(3×15 − 26 = 13450 cm³ soit en litres environ 13,4 L.

édit : 29/05/13 correction d'une erreur dans la valeur de h qui est égale à 26 et non 11; merci à Richard

réponse publiée : 14/03/2013 à 09:50:31 - auteur : Webmaster

L'aquarium plein a un volume de 14.137 L. La réponse ne semble pas cohérente.

Je pense que la hauteur demandée serait de 15+15−4 = 26 cm et avec 26 à la place de 11 on obtient 13450 cm3 soit 13.45 L de volume plein. Ce qui n'est pas demandé.

réponse publiée : 25/09/2013 à 19:32:58 - auteur : Richard

Tout à fait ! J'ai fait une belle erreur ! Je vais corriger.

réponse publiée : 29/09/2013 à 16:12:11 - auteur : Webmaster

bonjour,

simple commentaire pour correction :
dans la formule en fine de 3e ligne sous le shéma de la sphère :
r = R² - (R-h)² = 2Rh - h²
il s'agit de r² au lieu de r.

réponse publiée : 12/03/2014 à 14:34:31 - auteur : Michael

Tout à fait ! C'est corrigé merci bcp !

réponse publiée : 12/03/2014 à 16:21:53 - auteur : le Webmaster

la surface d'une calotte est:
2πr²(1-cosα)

réponse publiée : 18/11/2015 à 23:54:10 - auteur : maryem - réponse en cours de modération

tq α egale l'angle entre les vacteurs HO et OA

réponse publiée : 18/11/2015 à 23:58:26 - auteur : maryem - réponse en cours de modération

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Quelle est la demi somme de 2 et 3 : utiliser le point "." comme séparateur des décimales

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