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Calculateur de système à trois équations linéaires à trois inconnues
L'outil permet de résoudre des systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues. Il suffit de renseigner les valeurs des coefficients afin de déterminer s'il existe des solutions ou non. L'outil calcule les déterminants et les solutions des systèmes de trois équations à trois inconnues.
Si vous souhaitez utiliser des coefficients sous forme de fractions utilisez l'outil pour un système un n inconnues, il est adapté.
Méthode du pivot de Gauss :
Résolution d'un système linéaire à 3 inconnues par la méthode du pivot de Gauss.
Soit le système à 3 inconnues suivant :
19x + 5y − 15z = 5 (1)
−4x − 12y + 8z = −3 (2)
4x + 10y + 3z = 4 (3)
19x + 5y − 15z = 5 (1)
−208/19y + 92/19z = −37/19 (2) ← (2)+4/19(1)
170/19y + 117/19z = 56/19 (3) ← (3)−4/19(1)
19x + 5y − 15z = 5 (1)
−208/19y + 92/19z = −37/19 (2)
263/26z = 141/104 (3) ← (3)+85/104(2)
19x + 5y − 15z = 5 (1)
−208/19y + 92/19z = −37/19 (2)
z = 141/1052 (3)
19x + 5y − 15z = 5 (1)
−208/19y = −12974/4997 (2) on reporte la valeur de z
z = 141/1052 (3)
19x + 5y − 15z = 5 (1)
y = 499/2104 (2)
z = 141/1052 (3)
19x = 12255/2104 (1) on reporte y et z
y = 499/2104 (2)
z = 141/1052 (3)
x = 645/2104 et y = 499/2104 et z = 141/1052
Le système admet une seule solution :
S = { (645/2104;499/2104;141/1052)}
Méthode de l'outil :
Soit le système suivant :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Soient les matrices 3×3 suivantes construites à partir du système :
M =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
M1 =
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
M2 =
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
M3 =
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
Nous calculons le déterminant de la matrice M :
Det(M) =
a11(a22a33 − a32a23)
− a21(a12a33 − a32a13)
+ a31(a12a23 − a22a13)
Alors si Det(M) ≠ 0 alors les solutions sont :
xi = Det(Mi) / Det(M) pour 0 < i ≤ 3
