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Système linéaire à n équations

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calcul sur les matrices : déterminant de matrice (n,n) - somme de matrices - matrice inverse de matrice (n,n) - produit de matrices (n,m) × (m,p) - puissance de matrice (n,n) - résolution de système à n inconnues

Système linéaire de n équations à n inconnues

L'outil est très efficace pour résoudre des systèmes d'équations à 4 ou 5 inconnues et même davantage !

Il suffit de rentrer les éléments successivement, séparés d'un espace, en effectuant ou non un retour charriot à chaque ligne. Vous pouvez entrer des fractions de la forme 3/4, celles-ci seront prises en compte.

 

 

Un système de n équations linéaires à n inconnues peut s'interpréter de façon matricielle.

Soit le système (S) suivant :

a11x1 + a12x1 +· · · + a1nx1n = b1

a21x1 + a22x2 +· · · + a2nx2n = b1

...

...

...

an1x1 + an2x1 +· · · + annxnn = bn

Le système (S) s'écrit sous la forme matricielle suivante :

A = ( a11 a12 · · · a1n

         a21 a22 · · · a2n

         . . . . . . . . . . . . .

         . . . . . . . . . . . . .

         . . . . . . . . . . . . .

          an1 an2 · · · ann )

X = ( x1   et  B = ( b1

         x2                  b2

         .                    .

         .                    .

         .                    .

         xn )               bn )

A est la matrice n×n des coefficients aij de (S), B la matrice n×1 des coefficients bi et X la matrice n×1 des inconnues xi alors :

le système (S) devient : AX = B

Système de dimension 3 (3 inconnues et 3 équations):

Exemple un système de dimension 3 :

5x + 4y + 3z = 12

8x + 2y − z = 9

7x + 2y + 4z = 13

Il suffit de déterminer les matrices A et B.

A =

5 4 3

8 2 -1

7 2 4

 

et B =

12

  9

13

 

Alors en copiant/collant les matrices A et B, on obtient :

 

Le déterminant de la matrice A est non nul et est égal à -100, le système admet 3 solutions :

x1 = x = 1 ; x2 = y = 1 et x3 = z = 1

Système de dimension 4 (4 inconnues et 4 équations):

-x + z + t = 12

x - 2y + z - t = 9

x - z + t = 0

x + z - t = -7

Il faut bien penser au coefficients égaux à 0 !

Le système est équivalent à :

-1x + 0y + z + t = 12

 1x - 2y + z - t = 9

 1x + 0y - z + t = 0

 1x + 0y + z - t = -7

La matrice A des coefficients est égale à :

A =

 -1 0 1 1

  1 -2 1 -1

  1 0 -1 1

  1 0 1 -1

et la matrice B est égale à

et B =

 12

    9

    0

   -7

Alors en copiant/collant les matrices A et B, on obtient :

 

Le déterminant de la matrice A est non nul et est égal à -8, le système admet 4 solutions :

x1 = x = -7/2
x2 = y = -8
x3 = z = 5/2
x4 = t = 6

Voici un outil de calcul dont je suis très satisfait. J'ai réussi à résoudre des systèmes de 4 ou 5 équations à 4 ou 5 inconnues très facilement. Une fois l'interface maitrisée, c'est très rapide et il fonctionne vraiment très bien. J'espère que vous me confirmerez cela.

Le 01/02/13 le webmaster

Merci infiniment pour cette page qui fonctionne parfaitement. Jai pu utiliser pour géoréférencer des données en X, Y, Z (4 points connus dans deux référentiels différents). J'ai pu appliquer les formules obtenues sur deux jeux de données et tout a parfaitement bien fonctionné. Merci encore.

Le 10/10/13 Robert

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