Volume d'une calotte sphérique
Le volume délimité par une sphère et un plan sécant correspond à une calotte sphérique.
Calculer le volume d'une calotte :
Le volume délimité par une sphère et un plan sécant correspond à une calotte sphérique. On parle aussi de sphère tronquée. Une calotte sphérique est définie par une hauteur h, qui est la distance entre le plan sécant et le sommet de la calotte, et par le rayon R de la sphère.
Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule :
,
où R est le rayon de la sphère et h la hauteur de la calotte.
Le résultat est arrondi à 10-6 près et l'unité du volume est celle du rayon et de la hauteur au cube. Exemple : si le rayon s'exprime en m, alors le volume de la calotte sphérique s'exprime en m3.
Propriétés d'une calotte sphérique :
- La calotte sphérique est une partie de la sphère, coupée par un plan parallèle à sa base.
- Le volume est directement proportionnel à la hauteur h de la calotte.
- Si la hauteur h est égale au rayon R de la sphère, la calotte devient un hémisphère.
- La surface de la base circulaire de la calotte est donnée par la formule : A = π × r2, où r est le rayon de cette base (r = √(2Rh − h²)).
Exemples :
Exemple 1 : Une calotte sphérique est découpée d'une sphère de rayon 10 cm. La hauteur de la calotte est 4 cm. Le volume est calculé par :
V = π × h² × (3R − h) ÷ 3 = π × 4² × (3 × 10 − 4) ÷ 3 = π × 16 × 26 ÷ 3 ≈ 436,33 cm3.
Exemple 2 : Une calotte sphérique est découpée d'une sphère de rayon 15 cm, avec une hauteur de 10 cm. Le volume est :
V = π × h² × (3R − h) ÷ 3 = π × 10² × (3 × 15 − 10) ÷ 3 = π × 100 × 35 ÷ 3 ≈ 3665,19 cm3.
Exemple 3 : Une calotte sphérique est obtenue d'une sphère de rayon 8 cm avec une hauteur de 3 cm. Le volume est :
V = π × h² × (3R − h) ÷ 3 = π × 3² × (3 × 8 − 3) ÷ 3 = π × 9 × 21 ÷ 3 ≈ 197,92 cm3.
Voir la page suivante :
Démonstration de la formule et exemples de calculs.
Questions fréquentes
Sphère et plan en coupe
Considérons une sphère de centre O, un plan ne passant pas par le centre O coupe la surface sphérique selon une ligne dont tous les points sont à la même distance R du centre O de la sphère. Ces points sont à la même distance du pied de la perpendiculaire menée du centre O de la sphère au plan P : Le plan coupe la sphère selon un cercle (C) dont H est le centre et r le rayon ici HA. […]
Réponse du Webmaster :
En appliquant la propriété de Pythagore au triangle OHA rectangle en H, nous obtenons :r = √(R² - OH²) en nommant d la distance OH on a : r = √(R² - d²)
En nommant h la hauteur de la calotte (R = d + h ), on obtient aussi : r² = R² - (R-h)² = 2Rh - h²
La surface sphérique de la calotte est égale à S = 2πRh.
Le volume de la calotte est égal à V = πh²(3R - h)÷3.
démonstration :
En suivant la même méthode que pour la démonstration du segment sphérique de la page suivante volume d'un segment sphérique il suffit d'effectuer la somme entre 0 et h, on obtient alors :
∫0hπ(2Rx - x²)dx = [π(Rx² - x³/3)]0h = π(Rh² - h³/3) = πh²(3R - h)÷3 ou encore
