Calculer le PGCD de 2 nombres entiers naturels

Le PGCD est le plus grand commun diviseur de 2 entiers.

Le PGCD se calcule par divisions successives (méthode d'Euclide) voir exemple plus bas.

Grâce à cet outil, vous pouvez trouver le PGCD de grands entiers jusqu'à 20 chiffres.

L'outil vous donne toutes les divisions de la méthode d'Euclide !

Méthode d'Euclide

La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide.

Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).

Calculer de PGCD de plusieurs nombres

Quel est le PGCD de 70, 462, 910 ?

Pour déterminer rapidement quel est le pgcd de plusieurs nombres, il suffit d'écrire leurs décompositions en facteurs premiers.

70 = 2 × 5 × 7

462 = 2 × 3 × 7 × 11

910 = 2 × 5 × 7 × 13

Les facteurs communs sont : 2 et 7 le pgcd est égal à 14.

Propriétés du PGCD

- Si on multiplie deux entiers naturels non nuls et par un même entier naturel k , leur PGCD est multiplié par k.

Soient a et b deux entiers non nuls :

- PGCD(a;b) divise PPCM(a;b)

- PGCD(ka;kb) = k.PGCD(a;b)

- PGCD(a;b) x PPCM(a;b) = |a x b|

- si a et b sont premiers entre eux, on a PGCD(a;b) = 1

Calcul du PGCD de 782 et 221

Pour déterminer le PGCD de 344 et 846 nous écrivons les divisions euclidiennes successives de 782 par 221 :

782 = 3×221 + 119
221 = 1×119 + 102
119 = 1×102 + 17
Le PGCD est égal au dernier reste non nul : 17.

Le PGCD de 344 et 846 est égal à 2, le dernier reste non nul.

Calcul du PGCD de 2210 et 7820

PGCD(2210,7820) = 10×PGCD(221,782) = 10×17 = 170

Calcul du PGCD de 1755 et 1053

1755 = 1×1053 + 702

1053 = 1×702 + 351

702 = 2×351 + 0

PGCD(1755,1053) = 351

2210 = 6×351 + 104

351 = 3×104 + 39

104 = 2×39 + 26

39 = 1×26 + 13

PGCD(2210, 351) = 13

D'où PGCD(2210,1755,1053) = 13

Exemple d'utilisation du GCD : Problème de répartition

Problème : Mathieu veut découper deux morceaux de bois, l’un de 36 cm et l’autre de 60 cm, en plus petites sections égales de la plus grande longueur possible. Quelle doit être la longueur des sections ?

Décomposition en facteurs premiers :

36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5

Identifier les facteurs communs :

Les facteurs communs sont : 2² et 3

Prendre le plus petit exposant pour chaque facteur commun :

Pour 2 : 2²
Pour 3 : 3

Calcul du PGCD :

PGCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Conclusion : La plus grande longueur égale possible pour découper les deux morceaux de bois est 12 cm.