Produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité qui contient quatre valeurs, les produits des valeurs en "diagonales" sont égaux. On les appelle les produits en croix.

En utilisant cette règle des produits en croix, nous pouvons déduire la quatrième valeur à partir de trois valeurs déjà connues, afin de maintenir la proportionnalité du tableau. Cette quatrième valeur est souvent appelée "la quatrième proportionnelle". Elle est unique, car elle est la seule valeur qui rende le tableau proportionnel.

Cette méthode de calcul est couramment désignée sous le nom de "règle de trois". Elle est extrêmement utile pour résoudre des problèmes de proportionnalité dans divers domaines, tels que les finances, les sciences, ou les calculs commerciaux.

Soit un tableau (qui est proportionnel) à 4 valeurs a, b, c et d :

Alors les produits suivants sont égaux :

$a\times d=b\times c$.

Nous pouvons ainsi déterminer une des 4 valeurs, par exemple "d" avec l'égalité suivante :

$d=(b\times c)÷a=\frac{b\times c}{a}$.

Pour avoir une idée plus précise, prenez le temps de lire les exemples ci-dessous. L'outil peut vérifier si 4 valeurs sont proportionnelles. Pour cela, il suffit de renseigner les 4 champs.

Exemples d'utilisation des produits en croix

Parmi les nombreuses règles des Mathématiques, la règle de trois est une des plus utilisées dans la vie courante.

Exemple 1 : consommation moyenne de carburant

Quelle est le consommation moyenne en L/100km

Un véhicule a consommé 47,03 litres d'essence en parcourant 658 km. Quelle est la consommation moyenne en L aux 100 km de ce véhicule ?

On peut toujours présenté un problème de proportionnalité sous la forme d'un tableau :

Litre	47,03	$x$
km	658	100

Les produits en croix égaux sont les suivants : $47.03\times 100=658\times x$

Alors $x=\frac{47.03\times 100}{658}\approx \mathrm{7,15}$ L/100km

Votre véhicule consomme 7,15 litres aux 100 km.

Exemple 2 : quantité de peinture

Quelle est la quantité de peinture nécessaire ?

Pour repeindre une salle, vous choisissez de la peinture avec les indications suivantes sur la notice technique : 2,5 litres de peinture permettent de couvrir 7 m². La peinture est vendue en pots de 2,5 L, en tines de 10 et 25 L. Plus la contenance est grande, plus le prix au litre est avantageux. Mais avez-vous réellement besoin de 25 L ?

Après calcul la superficie des murs de la salle représente 84m². Quelle sera la quantité de peinture nécessaire ?

Il faut 2,5 L pour 7 m². Combien faut-il de Litres pour 84 m²  ?

On présente le problème sous la forme d'un tableau (comme dans l'outil de cette page).

Litre	2,5	$x$
m2	7	84

Nous obtenons $x=\frac{\mathrm{2,5}\times 84}{7}=30L$. Finalement, la tine de 25 L n'est pas suffisante.

 

Exemple 3 : des notes qui ne sont pas sur 20

Comment transformer une note sur 15, 25, 30 ou sur 77 en une note sur 20 ?

C'est un simple problème de proportionnalité. Vous avez obtenu 18 sur 30. Trouver l'équivalent de cette note sur 20 revient à chercher la valeur $x$ telle que : " $x$ vingtième soit égal à 18 trentième " .

C'est-à-dire on cherche $x$ afin que $\frac{18}{30}=\frac{x}{20}$

De fait on a les égalités des produits en croix : $18\times 20=x\times 30$

Et ainsi $x=\frac{18\times 20}{30}=12$.

Vous pouvez aussi raisonner dans ce sens "diviser par 30", ce qui vous permet de trouver combien vous avez eu sur 1 (c'est ce que l'on appelle le passage par l'unité), et ensuite multiplier par 20.

 

Les notes des dictées de primaire sont souvent données sur un nombre de difficultés, par exemple sur 77. Nous avons tellement l'habitude de l'échelle de valeur sur 20 qu'il nous est difficile d'apprécier une note sur 77.

Avoir 68 sur 77 correspond à quelle note sur 20 ? Il suffit de faire 68 divisé par 77 et ensuite de multiplier par 20 pour trouver le résultat : 68 ÷ 77 × 20 ≈ 17,662.

68 sur 77 correspond à la note 17,66 sur 20.