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Calculer les coefficients de l'égalité de Bézout pour deux entiers naturels
L'égalité de Bézout énonce que :
Soient a et b deux entiers relatifs, et d leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Alors, il existe deux entiers u et v tels que :
u × a + v × b = d.
Ce résultat fondamental en théorie des nombres montre qu'il est possible d'exprimer le PGCD de deux entiers comme une combinaison linéaire de ces entiers. Les coefficients u et v sont appelés les coefficients de Bézout.
Avec cet outil, vous pouvez calculer :
- Les coefficients u et v associés à l'égalité de Bézout pour les entiers a et b.
- Le PGCD des deux entiers, indispensable pour établir cette relation.
Ces calculs sont particulièrement utiles en arithmétique, notamment pour résoudre des équations diophantiennes ou dans l'algorithme d'Euclide étendu.
Exemple 1 : Rechercher les coefficients de Bézout des deux entiers naturels suivants : 221 et 782.
Appliquons l'algorithme d'Euclide étendu pour déterminer le PGCD et les coefficients de Bézout :
Le PGCD de 221 et 782 est 17, et les coefficients vérifient l'égalité :
-7 × 221 + 2 × 782 = 17
Les coefficients de Bézout sont donc :
u = -7 et v = 2. Ainsi, 17, le PGCD de 221 et 782, peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces deux entiers.
Interprétation : Cette égalité montre qu'à partir des coefficients u et v, on peut reconstruire le PGCD en combinant les deux entiers de manière adéquate.
Exemple 2 : Rechercher les coefficients de Bézout pour les deux entiers naturels suivants : 120 et 35.
Le PGCD de 120 et 35 est obtenu via l'algorithme d'Euclide :
- Effectuons la division successive : 120 ÷ 35 = 3 reste 15, 35 ÷ 15 = 2 reste 5, 15 ÷ 5 = 3 reste 0.
Le PGCD de 120 et 35 est donc 5.
En remontant les étapes de l'algorithme d'Euclide, nous trouvons les coefficients de Bézout :
-1 × 120 + 4 × 35 = 5
Les coefficients de Bézout sont :
u = -1 et v = 4. Ainsi, 5, le PGCD de 120 et 35, peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces deux entiers.
Conclusion : Ces exemples illustrent comment l'égalité de Bézout permet de trouver une combinaison linéaire des deux entiers qui donne leur PGCD. L'outil peut simplifier ce processus en fournissant directement les coefficients u et v.
