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Aire de la surface des Lunules d'Hippocrate

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Calculer l'aire des Lunules d'Hippocrate

Soit un triangle ABC rectangle en A avec K milieu du segment [CB], I au milieu du segment [AC] et J au milieu du segment [AB].

Traçons les demi-cercles de centre K et de diamètre [BC], de centre I de diamètre [AB] et de de centre J et de diamètre [AC].

Les deux surfaces en forme de croissants délimités par les demi-cercles sont appelées les Lunules d'Hipocrate. Calculons leurs surfaces.

Question publié : 24/02/2013 à 14:12:10 - auteur : Webmaster



Pour calculer l'aire de la surface des 2 lunules (en jaune), il suffit :

aux surfaces S1 et S2 des 2 demi disque de diamètres [AC] et [AB]

et à la surface SABC du triangle ABC

de soustraire l'aire de la surface S3 du demi disque de diamètre [BC].

L'aire des 2 lunules est égale à : S1 + S2 + SABC − S3 notons (1) cette relation.

En nommant respectivement a,b,c les mesures des segments [AC], [AB] et [BC] on obtient :

S1 = ½π.(b/2)² = π.b²/8 ; S2 = ½π.(c/2)² = π.c/²8 et S3 = ½π.(a/2)² = π.a²/8

L'aire de la surface SABC = b × c ÷ 2 = ½bc

La propriété de Pythagore nous donne : b² + c² = a² d'où π/8.(b² + c²) = π/8.a² d'où π/8.b² + π/8.c² = π/8.a²

Donc on obtient : S1 + S2 = S3

D'où (1) devient :
S1 + S2 + SABC − S3 = S3 + SABC − S3 = SABC = ½bc


L'aire de la surface des deux lunules est donc égale à l'aire de la surface du triangle ABC.

réponse publiée : 24/02/2013 à 20:33:32 - auteur : Webmaster

il n'y aurait pas une façon beaucoup plus simple de calculer ?

réponse publiée : 11/09/2013 à 15:32:58 - auteur : anonyme


Je n'ai absolument rien compris avec ces histoires de Sabc... :(

réponse publiée : 16/02/2014 à 15:11:59 - auteur :

S O S je comprends pas c dur ....

réponse publiée : 14/01/2015 à 17:58:23 - auteur :

Tout de même pas si dur que cela :

fixons un peu les idées :

S1 représente la surface du demi disque de diamètre [AC]
S2 représente la surface du demi disque de diamètre [AB]
S3 représente la surface du demi disque de diamètre [BC]

A partir de la propriété de Pythagore on démontre la relation :
S1 + S2 = S3

L'aire des lunules en jaune quand à elle est égale à :
L'aire du triangle + l'aire des deux demi-disque de diamètre [AC] et [AB] à laquelle on retira l'aire du grand demi disque de diamètre [BC]
cela se traduit par (en nommant SABC l'aire du triangle ABC) :

Aire en jaune = S1 + S2 + SABC − S3 = SABC

L'aire en jaune est égale à l'aire du triangle ABC.

réponse publiée : 17/01/2015 à 12:07:05 - auteur : Webmaster

C'est compliqué a comprendre il n'y a pas un théorème ou une propriété plus facile à mettre un oeuvre et à expliquer.

réponse publiée : 08/03/2015 à 17:58:53 - auteur : pipolaki6438

Hélas non :/

réponse publiée : 08/03/2015 à 21:51:24 - auteur : Le webmaster

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