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Calcul Moyenne Harmonique

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Calculer la moyenne harmonique H

La moyenne harmonique pondérée d'une série de n valeurs x1, x2, ... , xn dont les poids respectifs (ou coefficients) est la suite de nombres suivante : p1, p2, ... ,pn , est donnée par la formule :

moyenne harmonique pondérée

ou encore si tous les poids sont égaux la moyenne harmonique devient :

moyenne harmonique.

Exemple : 780; 880; 650

Exemple 1; 1; 2

Tous les poids sont identiques

 

 

Pourquoi utiliser la moyenne harmonique ?

Vous effectuez le même trajet 2 fois en avion ; la première fois à une vitesse de 780 km/h et la seconde fois à une vitesse de 880 km/h. Quelle a été la vitesse moyenne ?

Une réponse simple et rapide serait (780+880) ÷ 2 = 830 km/h

Mais c'est une réponse fausse. En effet, le second trajet s'est effectué en moins de temps que le premier. Vous avez donc volé moins longtemps à la vitesse la plus élevée.

Notons d la distance d'un tragettrajet. La distance totale effectuée lors des 2 trajets est donc égale à D = 2d. Notons t1 la durée du premier trajet et t2 la durée du second trajet.

Alors nous avons les relations suivantes :

708 = d/t1 et 880 = d/t2

De là t1 = d/780 et t2 = d/880

Hors la vitesse moyenne est égale à : Vm = D/ T avec T = t1+ t2

D'où Vm = 2d / ( t1+ t2 ) = 2d / ( d/780 + d/880 ) = 2 / ( 1/780 + 1/880 ) = 826,988

La moyenne réelle est de 827 km/h.

Ce qu'il faut retenir : pour effectuer la moyenne de plusieurs vitesses (sur une même distance) il faut utiliser la moyenne harmonique.

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