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Aire de la surface des Lunules d'Hippocrate

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Calculer l'aire des Lunules d'Hippocrate

Soit un triangle ABC rectangle en A avec K milieu du segment [CB], I au milieu du segment [AC] et J au milieu du segment [AB].

Traçons les demi-cercles de centre K et de diamètre [BC], de centre I de diamètre [AB] et de de centre J et de diamètre [AC].

Les deux surfaces en forme de croissants délimités par les demi-cercles sont appelées les Lunules d'Hipocrate. Calculons leurs surfaces.

Question publié : 24/02/2013 à 14:12:10 - auteur : Webmaster



Pour calculer l'aire de la surface des 2 lunules (en jaune), il suffit :

aux aires S1 et S2 des 2 demi disque de diamètres [AC] et [AB] et à l'aire SABC du triangle ABC,

de soustraire l'aire S3 du demi disque de diamètre [BC].

L'aire des 2 lunules est égale à : S1 + S2 + SABC − S3 notons (1) cette relation.

En nommant respectivement a, b, c les mesures des segments [AC], [AB] et [BC] on obtient :

`S_1 =1/2π(a/2)^2 = {πa^2}/8`;

`S_2 = 1/2π(b/2)^2 = {πb^2}/8`;

et `S_3 = 1/2π(c/2)^2 = {πc^2}/8`

L'aire de la surface `S_{ABC} = {a × b} / 2 = 1/2ab`

La propriété de Pythagore nous donne :

`a^2 + b^2 = c^2`

En multipliant par π/8 chaque membre de cette relation on obtient

`π/8×(a^2 + b^2) = π/8×c^2`

`π/8a^2 + π/8b^2 = π/8c^2`

On reconnaît : S1 + S2 = S3 notons (2) cette relation.

El alors la relation(1) (qui est égale à l'aire des lunules) devient (en utilisant la relation (2)) :

S1 + S2 + SABC − S3 = S3 + SABC − S3 = SABC


L'aire de la surface des deux lunules est donc égale à l'aire de la surface du triangle ABC.

Un petit gif pour illustrer tout ça :


réponse publiée : 24/02/2013 à 20:33:32 - auteur : Webmaster

il n'y aurait pas une façon beaucoup plus simple de calculer ?

réponse publiée : 11/09/2013 à 15:32:58 - auteur : anonyme


Je n'ai absolument rien compris avec ces histoires de Sabc... :(

réponse publiée : 16/02/2014 à 15:11:59 - auteur :

S O S je comprends pas c dur ....

réponse publiée : 14/01/2015 à 17:58:23 - auteur :

Tout de même pas si dur que cela :

fixons un peu les idées :

S1 représente la surface du demi disque de diamètre [AC]
S2 représente la surface du demi disque de diamètre [AB]
S3 représente la surface du demi disque de diamètre [BC]

A partir de la propriété de Pythagore on démontre la relation :
S1 + S2 = S3

L'aire des lunules en jaune quand à elle est égale à :
L'aire du triangle + l'aire des deux demi-disque de diamètre [AC] et [AB] à laquelle on retira l'aire du grand demi disque de diamètre [BC]
cela se traduit par (en nommant SABC l'aire du triangle ABC) :

Aire en jaune = S1 + S2 + SABC − S3 = SABC

L'aire en jaune est égale à l'aire du triangle ABC.

réponse publiée : 17/01/2015 à 12:07:05 - auteur : Webmaster

C'est compliqué a comprendre il n'y a pas un théorème ou une propriété plus facile à mettre un oeuvre et à expliquer.

réponse publiée : 08/03/2015 à 17:58:53 - auteur : pipolaki6438

Hélas non :/

réponse publiée : 08/03/2015 à 21:51:24 - auteur : Le webmaster

Bonjour, est ce que l'aire des lunules peut être 8² quand l'aire du triangle est 8cm² ?

réponse publiée : 17/11/2016 à 10:31:45 - auteur : Justine

L'aire des lunules est toujours égale à l'aire du triangle ! Donc oui.

réponse publiée : 19/11/2016 à 08:33:45 - auteur : Le webmaster

J'ai le même exercice en ce moment... Horrible

réponse publiée : 01/03/2017 à 14:54:38 - auteur : Un Terrien

Mais non je le répète "L'aire des lunules est toujours égale à l'aire du triangle".

réponse publiée : 05/03/2017 à 14:56:49 - auteur : Webmaster

Bonjour excusez moi mais dans mon cas on me demande de déduire que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du demi cercle de diamètre BC ... Comment dois je procéder ??

réponse publiée : 04/11/2018 à 15:06:08 - auteur : Une alicorne

Cette question n'est pas si mauvaise ... J'ai un prof qui me demande la même chose ... Mais le truc c'est que c'est pour demain ... Donc aidez moi svp

réponse publiée : 04/11/2018 à 15:14:06 - auteur : Le BG

Vous avez dû mal comprendre l'énoncé c'est :

- La somme des aires des demi-disques de diamètre [AC] et [AB] qui est égale à l'aire du demi-disque de diamètre [BC].

C'est démontré plus haut sous la forme : S1+ S2 = S3

C'est une évidence le triangle est rectangle en A et la relation de Pythagore nous dit que :

AC2 + AB2 = BC2

il suffit ensuite de multiplier par ½π pour obtenir les surfaces voulues :

½π.AC2 + ½π.AB2 = ½π.BC2

S1+ S2 = S3

réponse publiée : 04/11/2018 à 21:56:28 - auteur : Le webmaster

Dans l'expression : ½π.(b/2)² = π.b²/8 pourquoi 8 ?

réponse publiée : 15/11/2018 à 18:40:14 - auteur : Mat

Voilà le produit de ½ par le carré de b/2 donne :

½ × b²/2² = ½ × b²/4 = b²/(2×4) = b²/8

réponse publiée : 16/11/2018 à 07:13:57 - auteur : Le webmaster

C'est bien beau de prouver que S1 + S2 = S3 mais comment fait-on pour trouver que les deux lunules sont égales à l'aire du triangle ?

réponse publiée : 16/01/2019 à 06:54:37 - auteur : Un mec perdu

Trop compliqué

réponse publiée : 02/02/2019 à 22:08:16 - auteur : C'est mon devoir

Je vois que ce n'est pas compris par tous. je vais modifier cette page afin que ce soit plus simple.

réponse publiée : 05/02/2019 à 13:50:21 - auteur : Le webmaster

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