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Calcul équation second degré

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Résoudre une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme :

\(ax^2 + bx +c =0\)

où a,b,c sont des coefficients réels

 

On pose \(\Delta = b^2-4ac\). \(\Delta\) est appelé discriminant du trinôme \(ax^2 + bx +c\). Le nombre de solutions de l'équation dépend du discriminant.

 

Vous pouvez utiliser des fractions comme coefficients : par exemples 1/3 ou -1/3.



x2 + x + = 0

Si vous ne renseignez pas un coefficient, il sera concidéré comme nul.


Remarque : pour saisir x2 + x + 1 = 0 , Il faut renseigner la valeur 1 pour chacun des coefficients.

Existence et nombres de solution selon le signe du discriminant

- Si \(\Delta >0\), alors l'équation admet deux solutions réelles notées \(x_1\) et \(x_2\).

On a alors :

\(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}\).

- Si \(\Delta=0\), alors l'équation admet une solution réelle double notée \(x_0\);

on a alors : \(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\) ;

- Si \(\Delta<0\), alors l'équation n'admet pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées notées \(x_1\) et \(x_2\); on a alors :

\(x_1 = \dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

Exemples de résolutions d'équations du second dégré :

- Résoudre l'équation : 3x2 + 5x + 7 = 0

On calcule d'abord le discriminant.

Δ = 52 − 4 × 3 × 7 = 25 − 84 = −59

Le discriminant Δ est strictement négatif ( Δ < 0 ).

L'équation 3x2 + 5x + 7 = 0 n'admet pas de solution réelle, mais elle admet 2 solutions complexes :

x1 = (−5−i√59) / 6 et x2 = (−5+i√59) / 6.

- Résoudre l'équation : 4x2 + 4x + 1 = 0

On calcule d'abord le discriminant.

Δ = 42 − 4 × 4 × 1 = 16 − 16 = 0

Le discriminant Δ est nul.

L'équation 4x2 + 4x + 1 = 0 admet une solution réelle double x0 = −1/2.

- Résoudre l'équation : 2x2 + 9x − 5 = 0

On calcule d'abord le discriminant.

Δ = 92 − 4 × 2 × (-5) = 81 + 40 = 121

Le discriminant Δ est strictement positif ( Δ > 0 ).

Le discriminant est égal à 121 > 0 et √121 = 11.

L'équation 2x2 + 9x − 5 = 0 admet 2 solutions réelles :

x1 = (−9 + 11) / 4 = 1/2 et x2 = (−9 − 11) / 4 = −5.

- Résoudre l'équation : −x2 + 2x + 3 = 0

Le discriminant est égal à 16 > 0 et √16 = 4 donc l'équation −x2 + 2x + 3 = 0 admet 2 solutions réelles :

x1 = (−2 + 4) / −2 = −1 et x2 = (−2 − 4) / −2 = 3.

- Résoudre l'équation : x2 − 6x − 1 = 0

Le discriminant est égal à 40 > 0 donc l'équation x2 − 6x − 1 = 0 admet 2 solutions réelles :

x1 = (6 + √(40)) / 2 et x2 = (6 − √(40)) / 2.

Soit à 10-3  et dans cet ordre 6.162 et -0.162.

Réduisons grâce à la page racine √(40) = 2√10.

Nous pouvons réduire les solutions :

x1 = (6 + 2√10) / 2 = 3 + √10 et x2 = (6 − 2√10) / 2 = 3 − √10.

- Résoudre l'équation : 18x2 − 15x − 3 = 0

Le discriminant est égal à 441 > 0 et √441 = 21 donc l'équation 18x2 − 15x − 3 = 0 admet 2 solutions réelles :

x1 = (15 + 21) / 36 = 1 et x2 = (15 − 21) / 36 = -1/6.

L'équation admet comme factorisation : 18(x − 1)(x + 1/6)

Commentaires :

Avant tout, merci pour tous ces outils. Je voulais simplement faire remarquer que le solveur d'équations du second degré ne simplifie pas les fractions qu'il donne en résultat. (Par ex : avec x^2 - 6x -1 = 0). Je trouve cela curieux, d'autant que le programme qui inverse les matrices le fait très bien (il fait bien la division par det A)... et ça m'a l'air moins facile.

Le 2013-10-25

Réponse : Merci de vos encouragements. En effet, il faudrait pour cela inclure les fonctions réduisant les racines dans cette page, ce qui alourdirait vraiment le script. Néanmoins, suite à votre remarque, j'ai amélioré le programme. Vous pouvez dorénavant entrer des fractions sous la forme "3/4" comme coefficient et, si le discriminant est nul ou un carré parfait, les solutions sont alors données sous forme de fractions irréductibles.

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