Point d'intersection de deux droites

Calculer les coordonnées du point d'intersection, s'il existe, de 2 droites D et D' dont les équations sont sous la forme :

y = ax + b et y = a'x + b'

avec a et b réels, (a,b) ≠ (0,0) et a' et b' réels, (a',b') ≠ (0,0).

Formule points d'intersection de deux droites :

En reprenant les notations précédentes : y = ax + b et y = a'x + b', alors on a :

- si les couples (a,b) et (a',b') sont égaux il s'agit de la même droite.

On suppose pour la suite que les couples (a,b) et (a',b') sont distincts :

- a = 0 alors b ≠ 0 et a' ≠ 0 et l'abscisse de point d'intersection est donné par : $(b-b\prime )÷a$ et l'ordonnée est égal à : b;

- a' = 0 alors b' ≠ 0 et a ≠ 0 et l'abscisse de point d'intersection est donné par : $(b\prime -b)÷a\prime$ et l'ordonnée est égal à : b';

- a = a' et b ≠ b' les droites sont distinctes et parallèles, il n'y a pas de point d'intersection;

- a ≠ a'. Les droites sont sécantes en un point J dont les coordonnées sont :
$x_J=-\left(\frac{b\prime -b}{a\prime –a}\right)=\frac{b\prime -b}{a–a\prime }$ et $y_J=a\times x_J+b$.

Exemple :

Trouver, s'il existe, le point d'intersection des droites D et D' d'équations respectives :

y = 2x + 1 et y = x + 3.

On a : a = 2 ≠ a' = 1. Les coefficients directeurs sont différents donc les droites D et D' sont sécantes et admettent un point d'intersection K dont les coordonnées sont pour l'abscisse : -( 3 – 1 ) ÷ ( 1 – 2 ) = 2 et pour l'ordonnée : 2 × 2 + 1 = 5, soit K a pour coordonnées (2;5).