Volume d'un segment sphérique
Un segment sphérique est une portion d'une sphère délimitée par deux plans parallèles qui coupent la sphère en formant deux disques circulaires.
Un segment sphérique est une portion d'une sphère délimitée par deux plans parallèles qui coupent la sphère en formant deux disques circulaires.
Formule du volume :
Le volume d'un segment sphérique est donné par la formule :
Cette formule prend en compte :
- R : Le rayon de la sphère.
- h : La hauteur du segment, c'est-à-dire la distance entre les deux plans parallèles.
Calculer le volume d'un segment sphérique :
Le résultat est arrondi à 10-6 près et l'unité du volume est celle du rayon et de la hauteur au cube. Exemple : si le rayon s'exprime en m, alors le volume de la calotte sphérique s'exprime en m3.
Définition :
- Imaginez une sphère complète, comme une balle.
- Deux plans parallèles traversent cette sphère, créant une tranche ou segment.
- Cette portion de sphère, enfermée entre les deux coupes, est appelée le segment sphérique.
Les disques formés par les coupes dépendent de la position des plans par rapport au centre de la sphère :
- Plus les plans sont proches du centre, plus les disques sont grands.
- Plus les plans sont éloignés, plus les disques sont petits.
Exemple de calcul :
Soit une sphère de rayon R = 10 cm et un segment de hauteur h = 6 cm. Calculons son volume :
- Formule : Volume =
- Substitution : Volume =
- Calcul : Volume = = =
- Résultat : Volume ≈
Résumé :
Un segment sphérique est une portion de sphère délimitée par deux disques parallèles. Il constitue une forme importante en géométrie pour le calcul des volumes. La formule du volume d’un segment sphérique est essentielle dans les sciences et les applications pratiques.
Voir la page suivante :
Démonstration de la formule et exemples de calculs.
Questions fréquentes
Quel est le volume d'un segment sphérique ?
Comment calculer le volume d'un segment sphérique ? Nous donnerons la démonstration de la formule. Considérons une sphère de diamètre CC' = 2R; coupons-la par deux plans AA' et BB' perpendiculairement à CC' et proposons nous d'évaluer le volume du segment entre ces deux plans.
Réponse du Webmaster :
Soit un plan MM' parallèle aux plans AA' et BB' et compris entre eux. Soient a,b et x les distances des plans AA', BB' et MM' à C.L'intersection du plan MM' avec la sphère est un cercle de rayon y. Déterminons la mesure du carré son rayon et ainsi nous aurons son aire S = πy².
Appliquons le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles. CMC' est rectangle puisque CC' est un diamètre.
y² + (2R − x)² + y² + x² = (2R)²
2y² = (2R)² − (2R − x)² − x²
2y² = (2R)² − (2R)² + 2(2R)x − x² − x²
2y² = 2(2R)x − 2x²
y² = (2R)x − x²
y² = x(2R − x)
on a S(x) = π(2Rx − x²)
Le volume du segment sphérique est égale ∫abπ(2Rx − x²)dx.
Une primitive F de S est égale à F(x) = π(Rx² − x³/3) et le volume de segment sphérique VAA'BB' est égal à : F(b) − F(a).
VAA'BB' = π(Rb² − b³/3) − π(Ra² − a³/3) = π(Rb² − b³/3 − Ra² + a³/3) = π[R(b² − a²) −1/3(b³ − a³)]
VAA'BB' = π(b − a)[R(b + a) − 1/3(b² + ab + a²)]
Désignons par r et r' les rayons des deux bases et par h leur distance. On a :
b − a = h et en appliquant Pythagore (comme précédemment pour y) on a r² = a(2R − a) et r'² = b(2R − b).
De là r² + r'² = a(2R − a) + b(2R − b) = 2R(a + b) − a² − b² alors R(b+a) = ½(r² + r'² + a² + b²)
On remplace dans l'expression de VAA'BB' b − a par h, R(b+a) par ½(r² + r'² + a² + b²)
VAA'BB' = πh[½(r² + r'² + a² + b²) −1/3(b² + ab + a²)]
VAA'BB' = πh[½(r² + r'²) + 3/6(a² + b²) −2/6(a² + b²) −2/6ab]
VAA'BB' = πh[½(r² + r'²) + (a² − 2ab + b²)÷6]
VAA'BB' = πh[½(r² + r'²) + (a− b)²÷6]
VAA'BB' = ½πh[(r² + r'²) + h²÷3] ou encore :
