Calculer le nombre de combinaisons

Le nombre de combinaisons permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en ne tenant pas compte de l'ordre ?

Le nombre de combinaisons d'une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (avec p ≤ n), noté $C_{n}^{p}$ ou $(\binom{n}{p})$ (nouvelle notation) que l'on prononce "p parmi n", est le nombre de p-parties différentes d'un ensemble de n objets.

L'ordre des objets n'intervient pas. On a :

$C_{n}^{p} = A_{n}^{p} / p! = n! / p! (n - p)!$

Remarques :

n! s'appelle la factorielle n, où n est un entier. Elle est égale au produit de tous les entiers de 1 à n.

Par convention : 0! = 1 et 1! = 1

Exemple : 5! = 1×2×3×4×5 = 120

On note n! = 1×2×3×...×(n−1)×n

Remarques :

- $C_{n}^{p} = 1$ par convention 0! = 1

- si p = n, $C_{n}^{n} = 1$

- $C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$

- $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$

- $C_{n}^{p} = C_{n - 1}^{p} + C_{n - 1}^{p - 1}$

Exemples de combinaison lors de quelques tirages

Le nombre $C_{n}^{p}$ permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en ne tenant pas compte de l'ordre.

Exemple 1 : Combien y a-t-il de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 cartes ?

$C_{52}^{5} = 52! / 5! (52 - 5)! = 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 / 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 311875200 / 120 = 2 598 960$

Il y a 2 598 960 mains possibles de 5 cartes avec un jeu de 52 cartes.

Exemple 2 : Combien y a-t-il de fulls aux Rois par les Dames ?

Avec 4 rois et 4 dames, quel est le nombre de combinaisons d'un full aux Rois par les Dames.

$C_{4}^{3} \times C_{4}^{2} = 4 \times 6 = 24$

Il y a 24 fulls aux Rois par les Dames possibles.

La probabilité d'obtenir un full aux Rois par les Dames est donc de $24 / 2 598 960$ , soit environ de 0,001%.

Exemple 3 : Nombre de combinaison d'un tirage

Quel est le nombre de combinaisons possibles pour choisir 5 boules parmi 50 numérotée de 1 à 50, sans remise et sans tenir compte de l'ordre des tirages.

Puis choisir 2 boules parmi 12 numérotée de 1 à 12 toujours sans remise et sans tenir compte de l'ordre (cela vous rappelle les règles d'une célèbre loterie).

$C_{50}^{5} \times C_{12}^{2} = 50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46 / 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 12 \times 11 / 2 = 2118760 \times 66 = 139 838 160$

Il y a 139 838 160 combinaisons possibles, soit une chance de gagner sur plus de 139 millions à ce célèbre jeu.