Équation du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme :

$a{x}^2+bx+c=0$

où a,b,c sont des coefficients réels

On pose $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. $\mathrm{\Delta }$ est appelé discriminant du trinôme $a{x}^2+bx+c$. Le nombre de solutions de l'équation dépend du signe du discriminant.

Vous pouvez utiliser des fractions comme coefficients : par exemples 1/3 ou -1/3.

Nouvel algorithme ! Spécial Spécialité Math : l'outil donne maintenant les racines, la forme canonique, la forme factorisée du trinôme et son minimum ou maximum.

Existence et nombres de solution selon le signe du discriminant

- Si $\mathrm{\Delta }>0$, alors l'équation admet deux solutions réelles notées $x_1$ et $x_2$.

On a alors :

$x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.

- Si $\mathrm{\Delta }=0$, alors l'équation admet une solution réelle double notée $x_0$;

on a alors : $x_0={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$ ;

- Si $\mathrm{\Delta }<0$, alors l'équation n'admet pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées notées $x_1$ et $x_2$; on a alors :

$x_1={\displaystyle \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.

Exemples de résolutions d'équations du second degré :

- Résoudre l'équation : 3x² + 5x + 7 = 0

On calcule d'abord le discriminant.

Δ = 5² − 4 × 3 × 7 = 25 − 84 = −59

Le discriminant Δ est strictement négatif ( Δ < 0 ).

L'équation 3x² + 5x + 7 = 0 n'admet pas de solution réelle, mais elle admet 2 solutions complexes :

x₁ = (−5−i√59) / 6 et x₂ = (−5+i√59) / 6.

- Résoudre l'équation : 4x² + 4x + 1 = 0

On calcule d'abord le discriminant.

Δ = 4² − 4 × 4 × 1 = 16 − 16 = 0

Le discriminant Δ est nul.

L'équation 4x² + 4x + 1 = 0 admet une solution réelle double x₀ = −1/2.

- Résoudre l'équation : 2x² + 9x − 5 = 0

On calcule d'abord le discriminant.

Δ = 9² − 4 × 2 × (-5) = 81 + 40 = 121

Le discriminant Δ est strictement positif ( Δ > 0 ).

Le discriminant est égal à 121 > 0 et √121 = 11.

L'équation 2x² + 9x − 5 = 0 admet 2 solutions réelles :

x₁ = (−9 + 11) / 4 = 1/2 et x₂ = (−9 − 11) / 4 = −5.

- Résoudre l'équation : −x² + 2x + 3 = 0

Le discriminant est égal à 16 > 0 et √16 = 4 donc l'équation −x² + 2x + 3 = 0 admet 2 solutions réelles :

x₁ = (−2 + 4) / −2 = −1 et x₂ = (−2 − 4) / −2 = 3.

- Résoudre l'équation : x² − 6x − 1 = 0

Le discriminant est égal à 40 > 0 donc l'équation x² − 6x − 1 = 0 admet 2 solutions réelles :

x₁ = (6 + √(40)) / 2 et x₂ = (6 − √(40)) / 2.

Soit à 10^-3  et dans cet ordre 6,162 et −0,162.

Réduisons grâce à la page racine √(40) = 2√10.

Nous pouvons réduire les solutions :

x₁ = (6 + 2√10) / 2 = 3 + √10 et x₂ = (6 − 2√10) / 2 = 3 − √10.

- Résoudre l'équation : 18x² − 15x − 3 = 0

Le discriminant est égal à 441 > 0 et √441 = 21 donc l'équation 18x² − 15x − 3 = 0 admet 2 solutions réelles :

x₁ = (15 + 21) / 36 = 1 et x₂ = (15 − 21) / 36 = -1/6.

L'équation admet comme factorisation : 18(x − 1)(x + 1/6)

Factorisation d'un polynôme du second degré

L'outil permet de factoriser facilement des polynômes du second degré en ligne : par exemple $3x^2-5x+2$

L'outil détermine en fonction du discriminant du trinôme, le nombre de solutions.

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=1$

Le discriminant Δ est strictement positif, l'équation $3x^2-5x+2=0$ admet deux solutions.

Solution 1 : $x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}={\displaystyle \frac{5-1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Solution 2 : $x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}={\displaystyle \frac{5+1}{6}}=1$

Et donne la factorisation : le trinôme admet comme factorisation $3(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})(x-1)$.