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Calcul triangle quelconque

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hypoténuse - pythagore - formule de Héron - trigo. triangle rectangle - trigo. triangle quelconque (Al-Kashi) - aire triangle

Utilisons les relations trigonométriques d'un triangle quelconque

Grâce à cet outil, nous pouvons calculer à peu près tout dans un triangle quelconque : la mesure des longueurs des différents côtés, la mesure de ses angles, son aire, son périmètre et même la valeur des longueurs de ses hauteurs. C'est vraiment le calculateur du triangle !

Théorème d'Al-Kashi

Soit un triangle quelconque ABC. On note a,b et c les mesures respectives des longueurs des segments [BC], [AC] et [AB] et α, β et γ les mesures des angles respectifs en A, en B et en C.

D'après le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus), nous avons les relations suivantes :

loi des cosinus Al-Kashi

 

 



a = α = °

b = β = °

c =  γ = °

* Soit les mesures des 3 côtés ou 1 angle et les 2 côtés adjacents ou 1 angle, le côté opposé et 1 côté adjacent ou 2 angles et le côté commun ou encore 2 angles et un côté non commun.

triangle quelconque

 

a² = b² + c² − 2bc.cos(α)

b² = a² + c² − 2ac.cos(β)

c² = a² + b² − 2ab.cos(γ)

Autres formules : Lois des sinus

Le calculateur utilise aussi les formules, appelées "loi des sinus", valables dans un triangle quelconque :

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Exemple d'utilisation des relations trigonométriques dans le triangle quelconque :

DEF est un triangle tel que DE = 4cm ; EF = 6 cm et l'angle en E est égale à 70°.

1) Calculer l'aire de DEF

2) Calculer la mesure de la hauteur issue de E.

3) Calculer les mesures des angles en D et en F à 10−1 près.

En connaissant 1 angle et les 2 côtés adjaçents, nous pouvons calculer :

1)

l'aire du triangle = 4 × 6 × sin(70) ÷ 2

l'aire du triangle = 11.28

2)

DF = √(DE² + EF² − 2×DE×EF×cos(70))

DF = √(4² + 6² − 2×4×6×cos(70))

DF = √(16 + 36 − 16.416966879632)

DF = 5.97 cm

d'où la hauteur issue de E = 11.28 × 2 ÷ 5.97 = 3.78

3) et les angles : β = 39° γ = 71°

Autre exemple : Soit un triangle ABC quelconque dont les mesures des cotés a,b et c sont égales à :

a = 6 cm, b = 4 cm et c = 5 cm. Calculer les mesures des angles en A, B et C.

Le calculateur nous donne :

α = arccos[(b² + c² − a²) ÷ 2bc]

α = arccos[(4² + 5² − 6²) ÷ (2 × 4 × 5)]

α = arccos[0.125]

α = 82.82°

β = arccos[(a² + c² − b²) ÷ 2ac]

β = arccos[(6² + 5² − 4²) ÷ (2 × 6 × 5)]

β = arccos[0.75]

β = 41.41°

γ = arccos[(a² + b² − c²) ÷ 2ab]

γ = arccos[(6² + 4² − 5²) ÷ (2 × 6 × 4)]

γ = arccos[0.5625]

γ = 55.77° .

Nous pouvons obtenir aussi :

- le périmètre : 15 et en notant s = 7.5 le demi-périmètre

- l'aire du triangle par la formule de Héron : √[7.5 × (7.5 − 6) × (7.5 − 4) × (7.5 − 5)] = √98.4375 = 9.92 cm².

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