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Calculer le PGCD de 2 nombres entiers naturels
Le PGCD est le plus grand commun diviseur de 2 entiers.
Le PGCD se calcule par divisions successives (méthode d'Euclide) voir exemple plus bas.
Grâce à cet outil, vous pouvez trouver le PGCD de grands entiers jusqu'à 20 chiffres.
L'outil vous donne toutes les divisions de la méthode d'Euclide !
Méthode d'Euclide
La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide.
Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).
Calculer de PGCD de plusieurs nombres
Quel est le PGCD de 70, 462, 910 ?
Pour déterminer rapidement quel est le pgcd de plusieurs nombres, il suffit d'écrire leurs décompositions en facteurs premiers.
70 = 2 × 5 × 7
462 = 2 × 3 × 7 × 11
910 = 2 × 5 × 7 × 13
Les facteurs communs sont : 2 et 7 le pgcd est égal à 14.
Propriétés du PGCD
- Si on multiplie deux entiers naturels non nuls et par un même entier naturel k , leur PGCD est multiplié par k.
Soient a et b deux entiers non nuls :
- PGCD(a;b) divise PPCM(a;b)
- PGCD(ka;kb) = k.PGCD(a;b)
- PGCD(a;b) x PPCM(a;b) = |a x b|
- si a et b sont premiers entre eux, on a PGCD(a;b) = 1
Calcul du PGCD de 782 et 221
Pour déterminer le PGCD de 344 et 846 nous écrivons les divisions euclidiennes successives de 782 par 221 :
782 = 3×221 + 119
221 = 1×119 + 102
119 = 1×102 + 17
Le PGCD est égal au dernier reste non nul : 17.
Le PGCD de 344 et 846 est égal à 2, le dernier reste non nul.
Calcul du PGCD de 2210 et 7820
PGCD(2210,7820) = 10×PGCD(221,782) = 10×17 = 170
Calcul du PGCD de 1755 et 1053
1755 = 1×1053 + 702
1053 = 1×702 + 351
702 = 2×351 + 0
PGCD(1755,1053) = 351
2210 = 6×351 + 104
351 = 3×104 + 39
104 = 2×39 + 26
39 = 1×26 + 13
PGCD(2210, 351) = 13
D'où PGCD(2210,1755,1053) = 13
