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Calcul PGCD

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autre pages liées : calculer le PPCM - trouver les diviseurs d'un entier

Calculer le PGCD de 2 entiers naturels

Le PGCD est le plus grand commun diviseur de 2 entiers.

Le PGCD se calcule par divisions successives (méthode d'Euclide) voir exemple plus bas.

Grâce à cet outil, vous pouvez trouver le PGCD de grands entiers jusqu'à 20 chiffres.

 

L'outil vous donne toutes les divisions de la méthode d'Euclide !

 






Méthode d'Euclide

La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide.

 

Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).

Propriétés du PGCD

- Si on multiplie deux entiers naturels non nuls et par un même entier naturel k , leur PGCD est multiplié par k.

Soient a et b deux entiers non nuls :

- PGCD(a;b) divise PPCM(a;b)

- PGCD(ka;kb) = k.PGCD(a;b)

- PGCD(a;b) x PPCM(a;b) = |a x b|

- si a et b sont premiers entre eux, on a PGCD(a;b) = 1

Calcul du PGCD de 782 et 221

Pour déterminer le PGCD de 344 et 846 nous écrivons les divisions euclidiennes successives de 782 par 221 :

782 = 3×221 + 119
221 = 1×119 + 102
119 = 1×102 + 17
Le PGCD est égal au dernier reste non nul : 17.

Le PGCD de 344 et 846 est égal à 2, le dernier reste non nul.

Calcul du PGCD de 2210 et 7820

PGCD(2210,7820) = 10×PGCD(221,782) = 10×17 = 170

Calcul du PGCD de 1755 et 1053

1755 = 1×1053 + 702

1053 = 1×702 + 351

702 = 2×351 + 0

PGCD(1755,1053) = 351

 

2210 = 6×351 + 104

351 = 3×104 + 39

104 = 2×39 + 26

39 = 1×26 + 13

PGCD(2210, 351) = 13

D'où PGCD(2210,1755,1053) = 13

 

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