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Calculer le PPCM de 2 entiers naturels
Le PPCM, abréviation de Plus Petit Commun Multiple, est un concept mathématique essentiel. Il désigne le plus petit entier non nul qui peut être divisé à la fois par deux entiers donnés. En d'autres termes, c'est le plus petit multiple commun aux deux nombres.
La manière de calculer le PPCM est la suivante : il est obtenu en divisant le produit des deux entiers originaux par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). Cette opération garantit que le résultat est bien le plus petit multiple commun aux deux nombres, car le PGCD représente la plus grande valeur par laquelle les deux nombres sont divisibles.
Le PPCM est un outil précieux en mathématiques, utilisé pour résoudre divers problèmes, notamment dans les domaines des fractions, des proportions, et des équations. Vous pouvez également l'appliquer pour simplifier des fractions et effectuer des calculs de manière plus efficace.
Grâce à cet outil, vous pouvez rechercher le PPCM de deux entiers, même s'ils comportent jusqu'à 20 chiffres. Cela le rend particulièrement utile pour des calculs complexes et des problèmes mathématiques avancés.
Propriété : si les 2 entiers sont premiers entre eux alors le PPCM est égal au produit des 2 entiers.
Avec l'algorithme d'Euclide, calculons le PGCD de 221 et de 782 :
782 = 221 × 3 + 119
221 = 119 x 1 + 102
119 = 102 × 1 + 17
102 = 17 × 6 + 0
Donc PGCD(221,782) = 17, et 17 × PPCM(221,782) = 221 × 782,
soit PPCM(221,782) = (221 × 782) / 17 = 10 166.
Calculer le PPCM de 3 nombres ou plus
Pour le calcul du PPCM de plusieurs nombres, la méthode d'Euclide n'est pas la plus appropriée. il est plus simple d'écrire chaque nombre en produit de facteurs premiers (si cela est possible), voir l'exemple plus bas.
Exemple : calculer le ppcm de 45, 48 et 51
Pour calculer le PPCM de 3 nombres entiers comme 45, 48 et 51 : il est plus simple de décomposer en produit de facteurs premiers comme cela :
45 = 32 × 5
48 = 24 × 3
51 = 3 × 17
Il suffit de faire le produit de chaque facteur premier à l'exposant le plus élevé :
le PPCM des trois nombres de 45, 48 et 51 est égal à : 24 × 32 × 5 × 17 = 12240.
Exemple d'utilisation du PCCM : Problème de conjonction de multiples
Problème : Alice et Bob participent à une course de vélo. Alice fait un tour de piste tous les 12 minutes et Bob fait un tour de piste tous les 16 minutes. Si les deux commencent la course en même temps, au bout de combien de temps se retrouveront-ils ensemble au point de départ ?
- Décomposition en facteurs premiers :
- 12 = 2² × 3
- 16 = 2⁴
- Identifier les facteurs communs et non communs :
- Pour 2 : on prend 2⁴
- Pour 3 : on prend 3 (présent uniquement dans 12)
- Calcul du PPCM :
Pour chaque facteur, on prend le plus grand exposant :
PPCM = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48
Conclusion : Alice et Bob se retrouveront au point de départ au bout de 48 minutes.
