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Résoudre une équation du troisième degré

Ce calculateur vous permet de résoudre des équations du troisième degré sous la forme suivante :

ax³ + bx² + cx + d = 0, où a, b, c et d sont des nombres réels avec a ≠ 0.

Grâce à cet outil, vous pouvez identifier les racines simples ou évidentes (même si elles ne le sont pas toujours). Les solutions sont fournies sous une forme calculée, idéale pour vérifier vos propres résultats ou pour obtenir rapidement des solutions évidentes à une équation du troisième degré.

Les Équations du Troisième Degré

Les équations du troisième degré, également appelées équations cubiques, sont des équations polynomiales de la forme générale :

ax³ + bx² + cx + d = 0,

où a, b, c, et d sont des coefficients réels ou complexes, avec a ≠ 0. Le terme a est appelé le coefficient directeur.

Caractéristiques principales

Une équation du troisième degré possède toujours trois solutions, réelles ou complexes, en comptant les solutions multiples selon leur multiplicité. Elle peut souvent être réécrite sous forme factorisée : a(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃) = 0, où r₁, r₂, et r₃ sont les racines (solutions) de l'équation.

Le graphique d’une équation cubique, appelé fonction polynomiale de degré 3, peut avoir jusqu’à deux points critiques (maximum et minimum locaux). Son comportement asymptotique dépend du signe de a :

Si a > 0, la courbe "monte" à droite et "descend" à gauche. Si a < 0, la courbe "descend" à droite et "monte" à gauche.

Méthodes de résolution

Résoudre une équation cubique peut être plus complexe que pour les équations de degré inférieur. Les approches les plus courantes incluent :

1. Recherche de racines évidentes : En testant des valeurs simples comme ±1, ±2, etc., dans l’équation (appelée méthode d'essai par division). Si une racine est trouvée, on peut factoriser l’équation.

2. Méthode de factorisation : Une fois une racine trouvée, la division polynomiale permet de réduire l’équation à un produit d’un facteur de degré 1 et d’un facteur de degré 2. L’équation quadratique restante peut être résolue à l’aide de la formule classique.

3. Formule de Cardan : Pour des cas généraux où la factorisation est difficile, la méthode de Cardan offre une solution analytique. Elle est cependant peu utilisée en pratique en raison de sa complexité.

4. Utilisation des outils numériques : Pour des équations où les solutions ne sont pas exactes ou facilement accessibles, des approches numériques (comme la méthode de Newton-Raphson) sont souvent employées.

Applications pratiques

Les équations du troisième degré apparaissent dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. En physique, elles sont utilisées pour analyser des mouvements ou des équilibres dynamiques non linéaires. En ingénierie, elles servent pour les calculs liés aux structures et matériaux. En économie, elles interviennent dans l'étude des courbes d'offre et de demande complexes. Enfin, en mathématiques appliquées, elles permettent la modélisation des données et l'interpolation.

En conclusion, les équations du troisième degré, bien qu'elles puissent sembler complexes, sont fascinantes en raison de leurs multiples facettes et de leur capacité à modéliser des phénomènes réels. Grâce aux outils modernes comme les solveurs numériques, il est désormais possible de trouver rapidement leurs solutions.

Exemples afin de tester cet outil :

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 admet 3 solutions réelles : 1 , 2 et 3 .

En effet, vous pouvez vérifier en développant l'expression (x − 1)(x − 2)(x − 3) !

x³ + x² − x + 2 = 0 admet une solution réelle −2 et deux solutions complexes conjuguées 1/2 + i √3/2 et 1/2 - i √3/2 , mais l'outil affiche les valeurs sous forme "calculées" : 0,5 + i0,866 et 0,5 − i0,866.

2x³ − 24x² + 108x − 216 = 0 admet une solution réelle égale à 6 et deux solutions complexes conjuguées 3 + 3i et 3 − 3i.

x³ − 18 x + 35 = 0 . Les solutions sont : -5, (5+i√3)/2 et (5−i√3)/2

6x³ − 49x² + 46x + 21 = 0 . Les solutions sont : 7, -1/3 et 3/2