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Différence de racines cubiques

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Différence de racines cubique

Bonjour, voudriez-vous m'aider à prouver cette identité ? Merci beaucoup.

(5√2 + 7)1/3 − (5√2 − 7)1/3 = 2

Question publié : 21/01/2015 à 22:39:16 - auteur : Yvon

Très sympathique, je dois dire que j'ai du chercher !

réponse publiée : 23/01/2015 à 20:58:23 - auteur : Webmaster

sur excel OK (5√2 + 7)1/3 − (5√2 − 7)1/3 = 2
Salutations

réponse publiée : 15/02/2015 à 12:07:59 - auteur : annette

Oui tout à fait, il faut maintenant le démontrer.

réponse publiée : 15/02/2015 à 21:07:25 - auteur : Le webmaster

Posons X= (5√2 + 7)^(1/3) − (5√2 − 7)^(1/3) ; a= 5√2 et b = 7.
Donc : X = (a+b)^(1/3) - (a-b)^(1/3) ;
X³ = (a+b)-3(a+b)^(2/3)(a-b)^(1/3)+3(a+b)^(1/3)(a-b)^(2/3)-(a-b) (selon la formule du binôme pour (p+q)³).

On voit la simplification (a+b)-(a-b) = 2b et la factorisation des 2 autres termes ;
d'où : X³= 2b + 3(a+b)^(1/3)(a-b)^(1/3)[(a-b)^(1/3)-(a+b)^(1/3)].

Or: le crochet vaut -X et le facteur devant ce crochet s'écrit aussi:
3[(a+b)(a-b)]^(1/3);soit...3 car a²-b² = 1 et comme 2b = 14,il vient: X³=14-3X soit: X³+3X-14=0, équation dont la seule solution est 2.

réponse publiée : 28/06/2015 à 15:40:40 - auteur : PERRON

Posons (5√2+7)^(1/3)=a√x+b
Alors 5√2+7=(a√x+b)³=a³x√x+3a²xb+3a√xb²+b³=(a³x+3ab²)√x+(3a²xb+b³)
Identifions les radicaux et posons x=2 en espérant que tout ira bien.
Le système suivant a-t-il alors des solutions entières ?
2a³+3ab²=5 et 6a²b+b³=7
On aperçoit immédiatement que a=1 et b=1 répondent à la question, ce qui prouvent que (5√2+7)^(1/3)=1√2+1=√2+1 ce qui se vérifie sans problème.
On montre de la même façon que (5√2-7)^(1/3)=1√2-1=√2-1
La réponse est alors immédiate.

réponse publiée : 05/03/2016 à 21:28:48 - auteur : quaspier

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