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Déterminer le rayon d'un cercle

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Rayon Flèche et Arc

Bonjour, est-il possible de déterminer le rayon d'un cercle en ne connaissant que la flèche et l'arc ?

Dans l'attente,
Cordiales salutations.

Question publié : 08/05/2016 à 19:29:57 - auteur : Jef

Voici 2 figures qui vont nous aider.

On a tracé ici le segment [AB], le milieu H du segment [AB]. On construit la droite D perpendiculaire à la droite (AB) en H. Cette droite coupe l'arc (AB en F et le centre de l'arc appartient à cette droite.



Par hypothèse nous connaissons la longueur HF de la figure ci-dessus.

On peut facilement par une construction géométrique trouver le centre du cercle qui porte l'arc (AB. Par exemple en construisant la médiatrice du segment [FA]. Le point d'intersection de la droite D et de cette médiatrice est le centre recherché.



Quelle est la valeur du rayon ?

Si on connait la longueur du segment [AB]. On peut calculer facilement le rayon.

Soit c la longueur du segment [AB], r le rayon et f la flèche (la longueur FH) alors on la relation suivante dans le triangle rectangle AHO :

(OA)² = (c/2)² + (HO)²

or OA = r et HO = r−f

r² = c²/4 + (r−f)²

et de là on peut calculer r.

Si on ne connait pas la longueur du segment [AB], cela me semble impossible. Il nous faut la longueur de la corde c. Connaitre la longueur de l'arc sans connaitre le rayon ne nous permet pas de calculer c.

réponse publiée : 08/05/2016 à 20:27:41 - auteur : Le webmaster

donc pour finir r= c²/(8f) + f/2
(si je ne me trompe...)

réponse publiée : 02/06/2017 à 08:54:27 - auteur : moi

On peut développer un peu plus effectivement :

r² = c²/4 + (r−f)²

r² = c²/4 + r² − 2rf + f²

2rf = c²/4 + f²

r = (c²/4 + f²) / 2f

r = c²/(8f) + f/2

suite à la remarque de JPL en posant a = f et b = c/2 on peut obtenir une formule plus sympathique :

r = (c/2)²/(2f) + f/2

r = (c/2)²/(2f) + f²/2f

r = b²/2a + a²/2a

r = (a² + b²)/2a

réponse publiée : 17/07/2017 à 10:48:00 - auteur : Webmaster

très satisfait de la solution.

encore merci.

réponse publiée : 10/04/2018 à 15:34:18 - auteur : RD

On peut aussi aboutir à ceci : r = (f²+BH²)/ 2f
en utilisant des variables a et b ça donne une formule presque facile à retenir ! (a²+b²)/2a

réponse publiée : 27/02/2019 à 16:21:18 - auteur : JPL

Merci. je cherchais cette methode

réponse publiée : 09/03/2019 à 23:19:59 - auteur : steeves

Bonne remarque de la part de JPL, effectivement cela donne une formule facile à retenir ;).

réponse publiée : 15/03/2019 à 09:35:38 - auteur : Le webmaster

Merci.

réponse publiée : 05/04/2019 à 06:42:38 - auteur :

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