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hauteur du sable dans un sablier conique

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Sablier de forme conique, calcul volume avec h/2

Je prépare un concours paramédical et un exercice me pose un soucis de raisonnement, la correction ne m'éclaire pas plus.

Voici l'intitulé :

Un sablier de forme conique est rempli de sable jusqu'à la moitié de sa hauteur h quand il est posé sur sa base circulaire. Si je le retourne en le tenant par la base, la pointe étant dirigée vers le bas, quelle est, en fonction de h, la hauteur de sable ?

La solution est : 3√7×h/2

Pouvez vous m'indiquer le raisonnement à suivre ? Merci.

Question publié : 18/01/2015 à 14:12:49 - auteur : Aurélie

Ok, avec un petit peu d'aide voilà effectivement le résultat est bien :

3√7×h/2


Il s'agit bien de la racine cubique de 7, je comprend mieux le 3 dans votre question.

Je donnerai la démonstration bientôt.

réponse publiée : 19/01/2015 à 11:59:27 - auteur : Webmaster

Alors un petit schéma pour fixer les idées :



Soit V le volume du sable est égal à (en considérant que le sablier est posé sur sa base) :

V = 1/3 × B × h − 1/3 × b × h/2

on remarque que : b = B/4 en effet B = π×R2 et b = π×R2/4 car le rayon de la petit base b est égal à la moitié de la grande base B.

d'où

V = 1/3 × B × h − 1/3 × B/4 × h/2 = 1/3 × B × h − 1/24 × B × h = 7/24 × B × h (i)




Lorsque le sablier est tenu par sa base la pointe en bas :

On considère b' la petite base et de rayon r'. On a les rapports suivants :

R / r' = h / h'

En élevant au carré et en multipliant par π au numérateur et dénominateur le membre de droite on obtient :
B / b' = h2 / h'2 (ii)


Le volume du sable dans cette configuration est égal à :

V = 1/3 × b' × h'

donc en utilisant (i)

1/3 × b' × h' = 7/24 × B × h

b' × h' = 7/8 × B × h

h' = 7/8 × B × h / b' or B = h2 × b' / h'2 d'après (ii)

donc

h' = 7/8 × h2 × h / h'2

h'3 = 7/8 × h3

h' = 3√7/2 × h

réponse publiée : 19/01/2015 à 15:22:47 - auteur : Webmaster

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