Calculis

Rechercher un sujet (en entrant un mot clé):

Quel est l'aire de la surface bleue ?

Démontrer que la surface en bleue est égale à :

¼×π×(a2 + b2 + a.b)

Publié le 17/01/2015 à 14:13:43 - Auteur : Webmaster

Quel est l'aire de la surface bleue ?

Préalable: le fait que les 3 cercles soient ainsi disposés (tangents extérieurement) implique que l'homothétie positive qui transforme C1 (le plus grand cercle) en C2 (le cercle "moyen") et aussi celle qui transforme C2 en C3 (le petit cercle).

Il en résulte que, r1, r2, r3 étant les rayons respectifs de ces cercles :

r2/r1 = r3/r2 donc r2 = √(r1r3) [égalité1].

O1, O2, O3 étant les centres respectifs de C1, C2, C3, traçons les segments [O1E], [O2F], [O3G] tous perpendiculaires à la tangente commune.

Traçons la parallèle à (AD) passant par F : elle coupe[O1E] en K, puis la parallèle à (AD) passant par G : elle coupe [O2F] en L.

On peut dire que : KF = O1O2 = r1 + r2 (car KFO2O1 est un parallélogramme).

De même : LG = r2 + r3.

Alors, dans les triangles rectangles KEF et GFL : EF² = KF² − KE² et FG² = LG² − LF²

soit :
a² = (r1+r2)² − (r1 − r2)² = 4r1r2 et b² = (r2 + r3)² − (r2 − r3)² = 4r2r3.

D'où : a² + b² + ab = 4r1r2 + 4r2r3 + 4√(r1r2²r3) = 4r1r2 + 4r2r3 + 4r1r3 (d'après l'égalité 1).

Il s'en suit : a² + b² + ab = 4(r1r2 + r2r3 + r1r3) [égalité2].

Le cercle de diamètre AD a pour rayon r1+r2+r3,

d'où l'aire bleue : ½π[(r1 + r2 + r3)² − r1² − r2² − r3²] = ½π(2r1r2 + 2r2r3 + 2r3r1) = π(r1r2 + r2r3 + r1r3).

En rapprochant de l'égalité 2, on a bien : Sbleue = ¼π(a² + b² + ab)

Réponse publiée le 01/07/2015 à 07:32:27 - Auteur : PERRON

Merci pour votre participation ! Belle démonstration !

Réponse publiée le 01/07/2015 à 10:18:50 - Auteur : Le webmasteur

Outils de calculs gratuits
Outils du Moment
Résistance km/h en m/s Pourcentage Variation en pourcentage Course à pied PGCD Echelle Coût carburant Réduction Moyenne Aire Augmentation Escalier Produit en croix Béton tout prêt Pneu Temps de parcours Volume de cylindre Pourcentage Taux horaire Volume Béton Calcul heure

Outil à tester :

Calcul Pourcentage
D'autres Outils
Brut net Calcul d'aire Escalier Masse molaire Calcul volume Conversion unités Fioul Hypoténuse Chauffage Bois Equation second dedré Pente Puissance radiateur Résistance thermique TVA Equation 1er degré plus d'outils...
Les QCM
Math Brevet Littérature Peintures et Peintres Célèbres Histoire de France Capitales du Monde Drapeaux du Monde Verbes anglais Equations Calcul Littéral Nombres Relatifs Verbes allemand Fraction
Questions

- Poser une Question

- Questions Résolues

- Problèmes à résoudre

Pour vous aider :

- Contact

- À propos

- Liste de tous les outils