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Maximiser le volume d'une boite

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Maximiser le volume d'une boite

Dans une feuille de papier de carton carrée de coté 2a, on enlève aux quatres angles des carrés égaux de coté x, puis en relevant les parties extérieures au carré obtenu MNPQ on forme un parallélépipède rectangle afin d'obtenir une boite de rangement. Quel sera le volume de cet boite en forme de parallélépipède ?

Question publié : 05/03/2013 à 08:51:37 - auteur : Webmaster

Nous désignions par 2a la mesure du coté de la feuille carrée en carton et x la mesure du coté des carrés enlevés.

patron parallelepipede
Calculons le volume V obtenu en fonction de a et de x.
V = (2a − 2x)² × x = 4x(a − x)² avec x qui varie de 0 à a.

V est une fonction de x avec x qui varie de 0 à a; elle est continue et dérivable pour tout x ∈ [0;a[

V'(x) = 4(a − x)² + 4x.2(−1)(a − x) = 4(a − x)² − 8x(a − x) = (a − x)[4(a − x) − 8x] = (a − x)(4a − 4x − 8x) = (a − x)(4a − 12x) = 4(a − x)(a − 3x)

V'(x) = 0 ⇔ x = a ou x = a/3

pour tout x ∈ [0;a[ , (a − x) > 0 alors pour tout x ∈ [0;a[ le signe de V(x) est égal au signe de (a − 3x) soit strictement négatif pour pour tout x ∈ ]a/3;a[ et strictement positif pour tout x ∈ [0;a/3[.

Donc quand x varie de 0 à a/3, la fonction V croît de 0 (V(0) = 0) au maximum V(a/3) ; puis quand x varie de a/3 à a, la fonction V décroît du maximum V(a/3) à 0.

Le volume maximun est atteint lorsque x = a/3 , V(a/3) = 4a/3 × (a − a/3)² = 4a/3 × (2a/3)² = 4a/3 × 4a²/9 = 16a³/27

Application numérique : Quel est le volume maximale d'une boite construite avec cette méthode et une feuille carrée en carton de 1.20 m de coté ?

Ici a = 0.60 m alors le volume maximal est obtenu pour x = a/3 = 0.20 m ; vous obtenez une boite à base carrée de coté égal à 80 cm et dont la hauteur est égale à 20 cm. Son volume est égal à 16 × 0.60³ ÷ 27 = 0.128 m³ = 128000 cm³.

Vérification : 80 × 80 × 20 = 128000 cm³ nous retrouvons bien le même résultat.

réponse publiée : 05/03/2013 à 09:52:43 - auteur : Webmaster

Super explication ça fait plaisir d'apprendre comme ça !

réponse publiée : 08/11/2018 à 20:39:33 - auteur : dedalbek

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