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Surface de l'intersection de 2 disques

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Surface de l'intersection de disques

Considérons deux cercles de rayons R et R' (avec R > R') qui soient sécants en deux points. L'intersections des deux cercles délimitent une surface (en forme de lentille), comment calculer l'aire de cette surface ?

Question publié : 28/02/2013 à 11:18:43 - auteur : Webmaster

Soient deux cercles C et C', de rayons R et R' (avec R > R), de centres respectifs O et O' (O' à l'extérieur du cercle C).

Nommons D la distance des deux centres, on a D = OO'. Fixons D < R + R' alors les deux cercles sont sécantes en 2 points (P et Q) et l'intersection de leur disque respectif est une surface (lentille) dont l'aire S est strictement positive.



Comment calculer S l'aire de la surface de l'intersection en fonction de R, R' et D ?

réponse publiée : 28/02/2013 à 15:55:05 - auteur : Webmaster

Les valeurs connues sont la distance D des 2 centres et les 2 rayons des deux cercles R et R'.

On a : D = OO' , d = OC , d' = CO' et h = CP.

On a : D = d + d'

Calcul de d et d'

Dans le triangle OCP rectangle en C on a : cos (α) = d/R et α = arccos(d/R).

En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle quelconque OO'P on obtient :

R'² = R² + D² − 2RD.cos (α)

R'² = R² + D² − 2RD.d/R

R'² = R² + D² − 2Dd

d'où d = ( R² + D² − R'² ) / 2D

et d' = D − d

Nous pouvons calculer l'aire du segment de disque issu du cercle C.

aire du secteur angulaire d'angle 2α − l'aire du triangle OPQ
R².2.α/2 − (d.2h)/2
R².α − d.h (dans le triangle OCP rectangle en C on a : h = √(R² − d²) )
d'où on obtient R².arccos(d/R) − d.√(R² − d²)

On obtient de même pour le second segment de disque : R'².arccos(d'/R') − d'.√(R'² − d'²)

Application : Calculer l'aire d'une lentille avec D = 10 , R = 10 et R' = 7.

d = (10² + 10² − 7²) / 20 = 7,55
d' = 10 − 7,55 = 2,45
h = √(10² − 7,55²) = 6,55

R².arccos(d/R) − d.h = 22
R'².arccos(d'/R') − d'.h = 43,38

réponse publiée : 17/07/2017 à 10:58:32 - auteur : Webmaster

On peut facilement vérifier tout ça en utilisant un tableur et profiter pour faire quelques essais.


réponse publiée : 17/07/2017 à 10:59:43 - auteur : webmaster

Bonjour, j'essaie de vérifier le calcul sur un cas particulier. Deux cercles identiques, la circonférence de l'un passant au centre de l'autre et vice versa.
Donc R=R'=d=d'=D/2.

L'arccos de 1 me donne zéro... et la racine idem... donc je suppose qu'il y a quelque chose qui m'échappe.

réponse publiée : 10/09/2017 à 19:31:20 - auteur : Adrien

Bonjour, oui les distances d et d' ne sont pas égales à R et R' !

On a D = R = R' et d = d' = D/2

Par exemple avec R = R' = D = 10 on a :

réponse publiée : 11/09/2017 à 07:39:06 - auteur : Le webmaster

en effet, j'ai été trop vite. Merci beaucoup.

réponse publiée : 11/09/2017 à 22:00:13 - auteur :

Est il possible de résoudre ce problème (semblable à celui de la chèvre qui ne doit brouter que la moitié d'un pré rond) en passant par des intégrales déterminant des surfaces de cercles s'interceptant.
Merci.

réponse publiée : 11/05/2020 à 00:25:26 - auteur : Didier D.

oui comme à cette page : https://calculis.net/q/intersection-de-2-disques-334

réponse publiée : 14/05/2020 à 13:47:03 - auteur : Le webmaster

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