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Egalité d'aires entre un carré et triangle

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Egalité d'aires

Soit un carré ABCD et E un point appartenant au segment [AB].

On construit le carré AEFG et le triangle FBC. Comment positionner le point E afin que les aires du carré AEFG et du triangle FBC soient égales ?

Question publié : 26/03/2013 à 14:04:26 - auteur : Webmaster


Ce genre de problème est utilisé en TICE. Si on étudie la figure avec géogébras, il en fait assez évidement que les aires deviennent égales lorsque E est au milieu du segment [AB].

Démonstration :

Nommons x la mesure du segment [AE]. x peut varier de 0 à AB = 10.

L'aire du carré AEFG est égale à : x² et l'aire du triangle est égale à 10 × (10 − x ) ÷ 2 = 5(10 − x )

il suffit de résoudre l'équation suivante :
5(10 − x) = x²

− x² − 5x + 50 = 0


Nous pouvons utiliser l'outil de la page suivante : http://calculis.net/resoudre-equation-second-degre afin de résoudre l'équation du second degré et nous obtenons :

Le discriminant est égal à (-5)² − 4(−1 × 50) = 25 + 200 = 225 > 0 et √225 = 15 donc l'équation :
−x² −5x + 50 = 0 admet 2 solutions réélles (5 + 15) / −2 = −10 et (5 − 15) / −2 = 5.

x ne peut varier de 0 à 10 alors la seule solution possible est x = 5.

Donc pour que les aires soient égales, il suffit bien que E soit le milieu de [AB].

réponse publiée : 26/03/2013 à 14:59:23 - auteur : Webmaster

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