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équation du 1er degré à deux inconnues

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Résoudre une équation du 1er degré à deux inconnues

Problème 1 :

Un entrepreneur a dépensé 5000 euros pour un chantier auquel il a employé des ouvriers qualifiés et des apprentis. Chaque ouvriers a reçu 95 euros et chaque apprentis 65 euros. Le patron avait conclut en affirmant qu'il fallait le minimum de personnes sur le chantier. Cherchons combien il y avait d'ouvriers et combien d'apprentis ?

Problème 2 :

Trouver un nombre tel qu'en le divisant par 11 on ait 3 pour reste et qu'en divisant par 17 on ait 10 pour le reste.

Question publié : 12/03/2013 à 10:28:59 - auteur : Webmaster

Problème solution :

Notons x le nombre d'ouvriers et y le nombre d'apprentis alors le problème devient :
95x + 65y = 5000 ou encore en divisant par cinq : 19x + 13y = 1000 (1).

Les solutions de cette équation doivent être entière et positives par la nature du problème posé nombre de personnes. Nous allons recherche les solutions entières et positives.

De (1) on obtient :

y = (1000 − 19x ) / 13 nous choisissons d'isoler y qui a le plus coefficient

Nous isolons la partie entière de la fraction selon methode ci-dessous en remarquant 1000 ÷ 13 = 76 × 13 + 12 = 988 + 12

y = (988 − 13x + 12 − 6x) / 13 = 76 − x + (12 − 6x) / 13

Afin que y soit une solution entière il est nécessaire que la fraction (12 − 6x) / 13 soit elle aussi entière nottons la t, on obtient :

(12 − 6x) / 13 = t
12 − 6x = 13t
6x = 12 − 13t
x = (12 − 13t) / 6 = 2 - 2t - t/6

or x doit lui aussi être entier donc la fraction t/6 doit être entière.

t = 0 nous donne une première solution alors :
x = 2 et y = (1000 − 19x ) / 13 = (1000 − 19 × 2) / 13 = 962 / 13 = 74

t = -6 nous donne une deuxième solution positive alors :
x = 2 + 12 + 1 = 15 et y = (1000 − 19 × 15) / 13 = 55

t = -12 nous donne une troisième solution positive alors :
x = 2 + 24 + 2 = 28 et y = (1000 − 19 × 28) / 13 = 36

t = -18 nous donne une quatrième solution positive alors :
x = 2 + 36 + 3 = 41 et y = (1000 − 19 × 41) / 13 = 17

t = -24 nous donne solution négative pour y :
x = 2 + 48 + 4 = 54 et y = (1000 − 19 × 54) / 13 < 0

Les solutions entières et positives possibles sont :

x = 2 et y = 74
x = 15 et y = 55
x = 28 et y = 36
x = 41 et y = 17

Donc les solutions, qui coïncident avec la recommandation du patron d'avoir le minimum de personnes sur le chantier, sont
x = 41 et y = 17, donc il y avait 41 ouvriers et 17 apprentis.

réponse publiée : 12/03/2013 à 10:58:40 - auteur : webmaster

Alors qui sera résoudre le problème n°2 en prenant exemple que le premier ?

réponse publiée : 13/03/2013 à 09:49:34 - auteur : Webmaster

Solution problème 2:
On a : a = 11 × x + 3 et a = 17 × y + 10

On soustrait les deux équations on aura :

11 × x − 17 × y = 7

11 et 17 sont premiers entre eux donc cette dernière équation admet une infinité de solution.

On remarque que (-4,-3) est une solution particulière.
On aura les 2 équations suivantes :

11 × x − 17 × y = 7 et 11 × (-4) − 17 × (-3) = 7

Soustraction : 11(x+4) − 17(y−3) = 0 ⇒ 11(x+4) = 17(y-3)

17 divise 11(x+4) et 17 et 11 premiers entre eux
alors d'après le théorème de Gauss : 17 divise (x+4)

⇒ x+4 = 17k avec k entier
⇒ x = 17k − 4
⇒ y = 11k − 3

On remplace x dans la première équation :
a = 11x+3 = 11(17k−4)+3 = 187k−41

k=1 on obtient
a = 187 − 41 = 146
146 = 8×17 + 10

k=5 on obtient
a = 187×5 − 41 = 894
894 = 17×52 + 10 = 894

... une infinité de solution

réponse publiée : 16/05/2015 à 00:06:35 - auteur : NazimCSD

Merci NazimCSD pour cette brillante résolution !

réponse publiée : 16/05/2015 à 10:15:27 - auteur : Le webmaster

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