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5 nombres impairs successifs

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Trouver 5 nombres impairs successifs

Trouver 5 nombres impairs successifs dont leur somme est égale à 381.

Question publié : 25/10/2015 à 13:43:44 - auteur : Ayae

je vous donne un indice qui devrait vous aider. Il suffit de savoir que les nombres impairs s'écrivent 2n+1 avec n entier.

La question devient alors tout simplement :

2n+1 + 2(n+1)+1 + 2(n+2)+1 + 2(n+3)+1 + 2(n+4)+1 = 381

il suffit alors de développer et cela revient à résoudre une équation du premier degré en n.

Edit : on trouve n non entier ce qui montre qu'il n'y a pas de solution; voir la réponse de Daniel76 (ci-dessous) bien plus élégante.

réponse publiée : 29/10/2015 à 11:14:11 - auteur : Le webmaster

La somme de 5 nombres impairs successifs est un multiple de 5.

La première suite est 1.3.5.7.9 dont la somme est 25, si l'on supprime 1 il faut ajouter 11 soit la suite 3.5.7.9.11 soit 35.

2n+1,2n+3, 2n+5, 2n+7, 2n+9 est la forme générique soit 10n+25, on retrouve la première suite pour n=0 et la seconde pour n=1.

La somme est donc de la forme 10n+25 soit 5(2n+5), quelque soit n cette somme est bien un multiple de 5.

On remarque que le pas des sommes est de 10 (25,35,45,55...,375,385,...).

381 ne peut être une somme de 5 impair consécutifs.

Cordialement.

réponse publiée : 11/11/2015 à 21:50:41 - auteur : Daniel76

Bonjour et grand merci. Bêtement je n'avais pas fini mon raisonnement pour comprendre que cela ne menait à rien. Merci encore pour votre réponse très claire.

réponse publiée : 12/11/2015 à 14:23:41 - auteur : Le webmaster

En complément à la première réponse qui est la bonne approche sur le plan mathématique, il aurait fallu qu'elle détail un petit peu.

Pour reprendre le début de la démonstration de l'auteur :
Supposons n entier, alors comme tout nombre impair s'écrit sous la forme 2n+1, tout revient à trouver une solution à :

2n+1 + 2(n+1)+1 + 2(n+2)+1 + 2(n+3)+1 + 2(n+4)+1 = 381 avec n entier

Soit après développement et regroupement :
10n + 25 =381 avec n entier
d'où si une solution existe 10n=356 avec n entier, 356 n'étant pas un multiple de 10 il n'y a pas de solution avec n entier.

réponse publiée : 12/11/2015 à 15:04:14 - auteur : Daniel76

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