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Problème de second degré

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Problèmes de second degrè

PB 1 - Un marchand vend un objet 17,25€ et à ce prix il gagne autant pour 100€ de vente que l'objet lui avait couté. Quel était le prix d'achat ?

PB 2 - Un homme, voulant connaitre la profondeur d'un puits, y laisse une pierre; il compte 5 secondes entre le moment où il a la ché la pierre et le moment où il entend le bruit fait par la pierre en frappant le fond. Calculer d'après cela la profondeur du puits.
Calculer aussi la vitesse que possédait la pierre en frappant le fond du puits.

PB 3 - Trouver 2 cotés d'un rectangle dont le périmètre est égal à une quantité 2p et dont la surface est égale à une quantité c.

Question publié : 15/02/2013 à 21:07:17 - auteur : Webmaster

Problème 1

Soit x le prix d'achat de l'objet vendu 17,25€. Pour un achat de 100€ il gagne x€, pour un achat de 1€ il gagne x÷100€.

Pour un achat de x€ il gagne x × x÷100, donc x²÷100€.

De là on établit x + x²/100 = 17,25, il reste à résoudre cette équation du second degré ou encore x² + 100x - 1725 = 0.

utilisons l'outil de la page suivant http://calculis.net/resoudre-equation-second-degre

Le discriminant est égal à 16900 > 0 et √16900 = 130 donc l'équation x² + 100x − 1725 = 0 admet 2 solutions réélles (-100 + 130) / 2 = 15 et (-100 − 130) / 2 = -115.

Une solution négative (-115) n'étant pas une solution qui convient au problème, la seule solution possible est 15; le prix d'achat est donc de 15€.

réponse publiée : 15/02/2013 à 21:45:38 - auteur : Webmaster

Problème 2

Notons x la profondeur du puits en m.

La distance parcourue par une pierre en chute libre de t secondes est égale à d = ½gt² où g = 9,81 m.s-1. La vitesse du son dans l'air est de 340 m/s.

Soit t1 le temps de la descente, alors on a x (la profondeur du puits) égale à ½gt1², d'où t1 = √(2x/g).

Soit t2 le temps de la remontée, alors on a x = 340 × t2, d'où t2 = x/340.

la somme de t1 et t2 est égale à 5, d'où l'équation :

√(2x/g) + x/340 = 5

√(2x/g) = 5 - x/340

2x/g = (5 - x/340)²

2x/g = 25 - 10x/340 + x²/340²

x²/340² - (1/34 + 2/g)x + 25 = 0

x² - (1/34 + 2/g)340²x + 25×340² = 0

x² - 340(10 + 2×340/g)x + 25×340² = 0 (1)


δ = [340(10 + 2×340/g)]² - 4×25×340² ou encore avec le discriminant réduit δ' = 340²(5 + 340/g)² - 25×340².

δ' est positif car (5 + 340/g)² > 25 et par là 340²(5 + 340/g)² > 25×340² donc l'équation admet 2 solutions réelles.

Les solutions possèdent le même signe car leur produit est égale à 25×340² et le signe est le signe inverse du coefficient de x dans (1) donc +.

Toujours à l'aide du discriminant réduit les solutions deviennent x = 340(5 + 340/g) ± √δ'.

Calculons δ'

δ' = 340²(5 + 340/9,81)² - 25×340²
δ' = 340²(5 + 34,66)² - 2890000
δ' = 340²×39,66² - 2890000
δ' = 115600×1572,9156 - 2890000 = 181829043,36 - 2890000 = 178939043,36
√δ' = 13376,80990969072 ≈ 13376,81

340(5 + 340/g) = 340×39,66 = 13484,4

x1 = 13484,4 + 13376,81 impossible ou x2 = 13484,4 - 13376,81 = 107,59

La profondeur du puits est égale à environ 107,59 m, si on prend 9,808 pour g le résultat devient 107,78; nous pouvons raisonnablement dire que le puits fait environ 108 m de profondeur.

réponse publiée : 15/02/2013 à 22:20:41 - auteur :

Problème 3

Soit x la base et soit y la hauteur du rectangle; alors nous avons :

x + y = p
xy = c

De la première on a y = p - x et en substituant dans la seconde nous obtenons :

x(p - x) = c soit encore x² - px + c = 0 (i)

Le discriminant de (i) est égal à : δ = p² - 4c

δ est positif si et seulement si p² ≥ 4c c'est-à-dire si c ≤ p²/4; alors racines sont égales à : x = ½(p + √δ) et y ½(p - √δ)

De tous les rectangles dont le périmètre est égal à 2p celui dont la surface sera la plus grande possible est le rectangle où c = p²/4; alors dans ce cas δ est nul et on a :

x = ½p et y = ½y.

Le rectangle dont l'aire est maximale pour un périmètre donné est un carré.

réponse publiée : 16/02/2013 à 08:39:10 - auteur : Webmaster

Problème 4

Une somme de 400 euros doit être distribuée à parts égales entre un certains nombres de personnes; au moment du partage 5 se retirent, ce qui augmente de 4 euros la part des autres. Combien y avait-il d'abord de personnes ?

réponse publiée : 15/03/2013 à 06:45:19 - auteur : Webmaster

Posons x le nombre de personnes au départ, ensuite x−5 le nombre de personne qui finalement prendre part au partage.

La part de chacun des x−5 personnes est égale à 400/(x−5). Si les 5 personne ne s'étaient pas retirés, leur part aurait été diminuée de 4 euros.

Donc on peut facilement établir cette égalité :

400 / x = [400/(x−5)] − 4

En multipliant chaque membre par x(x−5) on suprime les dénominateurs :

400(x−5) = 400x − 4x(x−5) on développe et on réduit
400x − 2000 − 400x + 4x² −20x = 0
4x² −20x − 2000 = 0
4(x² − 5x − 500) = 0
x² − 5x − 500 = 0

avec l'outil de la page suivante : http://calculis.net/resoudre-equation-second-degre on obtient les solutions :

Le discriminant est égal à 2025 > 0 et √2025 = 45 donc l'équation x² -5x − 500 = 0 admet 2 solutions réélles (5 + 45) / 2 = 25 et (5 − 45) / 2 = -20.

La valeur −20 n'est pas admissible; Le nombre de personnes était de 25 et 20 personnes ont reçu chacun la somme de 20 euros.

réponse publiée : 15/03/2013 à 06:58:23 - auteur : Webmaster

Problème 1 - Ma solution

Soit x le prix d'achat de l'objet vendu 17,25€.

Pour un objet le marchant gagne 17,25−x.

Pour une vente de 100€ il vend 100/17,25 objet; donc il gagne (17,25−x)×100/17,25€ .

L'équation du problème est du premier degré :

(17,25 -x)×100/17,25 = x

Soit 1725 = 117,25x ⇔ x ≈14,71

-------- note du webmaster --------
Cette solution n'est valable que si vous considérez les 100€ de vente, prix margés. C'est le point du vue du client.

Mais le point de vue du marchant , il vend 100€ de marchandises qui lui ont coûtées 100€ (non margées). Il achète pour 100€ et qu'il revend (100 + x)€. Dans ce cas c'est la solution plus haut qu'il faut.
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réponse publiée : 11/12/2018 à 20:58:02 - auteur : Sara-Sandra

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