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Développer (x + y)n

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Développer une expression de la forme (x + y)n

Grâce à la formule du binôme de Newton, nous pouvons développer les expressions de la forme : (x + y)n.

On obtient : (x + y)n = yn + nxyn-1 + ... + p parmi nxp yn−p + ... + nyxn-1 + xn

ou encore

Voir la page combinaison pour la signification de p parmi n

 









Remarque : avec x = y = 1 on établit facilement que : somme de p=0 à np parmi n = 2n

Exemples : Identités remarquables de 3e et lycée :

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x − y)2 = x2 − 2xy + y2

(x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

Exemples : les Identités remarquables de degrès superieures de 4 à 10 :

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

(x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7

(x + y)8 = x8 + 8x7y + 28x6y2 + 56x5y3 + 70x4y4 + 56x3y5 + 28x2y6 + 8xy7 + y8

(x + y)9 = x9 + 9x8y + 36x7y2 + 84x6y3 + 126x5y4 + 126x4y5 + 84x3y6 + 36x2y7 + 9xy8 + y9

(x + y)10 = x10 + 10x9y + 45x8y2 + 120x7y3 + 210x6y4 + 252x5y5 + 210x4y6 + 120x3y7 + 45x2y8 + 10xy9 + y10

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