Calculis

Développer une expression de la forme (x + y)ⁿ

Grâce à la formule du binôme de Newton, nous pouvons développer les expressions de la forme :
(x + y)ⁿ.

On obtient : (x + y)ⁿ = yⁿ + nxy^n-1 + ... + x^p y^n−p + ... + nyx^n-1 + xⁿ

ou encore

Voir la page combinaison pour la signification de

Remarque : avec x = y = 1 on établit facilement que :

Exemples : Identités remarquables de 3e et lycée :

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

(x − y)² = x² − 2xy + y²

(x − y)³ = x³ − 3x²y + 3xy² − y³

Exemples : les Identités remarquables de degrès superieures de 4 à 10 :

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

(x + y)⁷ = x⁷ + 7x⁶y + 21x⁵y² + 35x⁴y³ + 35x³y⁴ + 21x²y⁵ + 7xy⁶ + y⁷

(x + y)⁸ = x⁸ + 8x⁷y + 28x⁶y² + 56x⁵y³ + 70x⁴y⁴ + 56x³y⁵ + 28x²y⁶ + 8xy⁷ + y⁸

(x + y)⁹ = x⁹ + 9x⁸y + 36x⁷y² + 84x⁶y³ + 126x⁵y⁴ + 126x⁴y⁵ + 84x³y⁶ + 36x²y⁷ + 9xy⁸ + y⁹

(x + y)¹⁰ = x¹⁰ + 10x⁹y + 45x⁸y² + 120x⁷y³ + 210x⁶y⁴ + 252x⁵y⁵ + 210x⁴y⁶ + 120x³y⁷ + 45x²y⁸ + 10xy⁹ + y¹⁰