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Calculer le nombre de combinaisons
Le nombre de combinaisons d'une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (avec p ≤ n), noté `C_n^p` ou \(\large\binom{n}{p}\) (nouvelle notation) que l'on prononce "p parmi n", est le nombre de p-parties différentes d'un ensemble de n objets.
L'ordre des objets n'intervient pas. On a :
`C_n^p = {A_n^p} / {p!} = {n!} / {p!(n − p)!}`
Remarques :
n! s'appelle la factorielle n, où n est un entier. Elle est égale au produit de tous les entiers de 1 à n.
Par convention : 0! = 1 et 1! = 1
Exemple : 5! = 1×2×3×4×5 = 120
On note n! = 1×2×3×...×(n−1)×n
Remarques :
- `C_n^p = 1` par convention 0! = 1
- si p = n, `C_n^n = 1`
- `C_n^1 = C_n^{n-1} = n`
- `C_n^p = C_n^{n-p}`
- `C_n^p = C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1}`
Exemples de combinaison lors de quelques tirages
Le nombre `C_n^p` permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en ne tenant pas compte de l'ordre.
Exemple 1 : Combien y a-t-il de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 cartes ?
`C_{52}^5 = {52!} / {5!(52 − 5)!} = {52×51×50×49×48} / {5×4×3×2} = 311875200 / 120 = 2 598 960`
Il y a 2 598 960 mains possibles de 5 cartes avec un jeu de 52 cartes.
Exemple 2 : Combien y a-t-il de fulls aux Rois par les Dames ?
Avec 4 rois et 4 dames, quel est le nombre de combinaisons d'un full aux Rois par les Dames.
`C_4^3 × C_4^2 = 4 × 6 = 24`
Il y a 24 fulls aux Rois par les Dames possibles.
La probabilité d'obtenir un full aux Rois par les Dames est donc de `24/{2 598 960}`, soit environ de 0,001%.
Exemple 3 : Nombre de combinaison d'un tirage
Quel est le nombre de combinaisons possibles pour choisir 5 boules parmi 50 numérotée de 1 à 50, sans remise et sans tenir compte de l'ordre des tirages.
Puis choisir 2 boules parmi 12 numérotée de 1 à 12 toujours sans remise et sans tenir compte de l'ordre (cela vous rappelle les règles d'une célèbre loterie).
`C_{50}^5 × C_{12}^2 = {50 × 49 × 48 × 47 × 46} / {5 × 4 × 3 × 2} × {12 × 11} / 2 = 2118760 × 66 = 139 838 160`
Il y a 139 838 160 combinaisons possibles, soit une chance de gagner sur plus de 139 millions à ce célèbre jeu.
