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Calculer Cnp

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Calculer : Arrangement Anp - Combinaison Cnp - Loi Binomiale - Loi Normale

Calculer le nombre de combinaisons

Le nombre de combinaisons d'une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (avec p ≤ n), noté Combinaison C<sub>n</sub><sup>p</sup> ou p parmi n (nouvelle notation) que l'on prononce "p parmi n", est le nombre de p-parties différentes d'un ensemble de n objets. L'ordre des objets n'intervient pas. On a :

Combinaison C<sub>n</sub><sup>p</sup> = p parmi n = Arrangement A<sub>n</sub><sup>p</sup> ÷ p! = n! ÷ p!(n − p)!

ou encore

 







Remarque :

n! s'appelle la factorielle n, où n est un entier. Elle est égale au produit de tous les entiers de 1 à n.

Par convention : 0! = 1 et 1! = 1

Exemple : 5! = 1×2×3×4×5 = 120

On note n! = 1×2×3×...×(n−1)×n

Remarques :

- Cn0 = 1 par convention 0! = 1

- si p = n, Cnp = Cnn = 1

- Cn1 = Cnn-1 = n

- Cnp = Cnn − p

- Cnp = Cn − 1p + Cn − 1p − 1

Combien y a-t-il de combinaisons possibles pour choisir 5 nombres parmi 50 ?

Le nombre Cnp permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en ne tenant pas compte de l'ordre.

Exemple 1 :

Combien y a-t-il de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 cartes ?

C525 = 52! / 5!(52 − 5)! = 52×51×50×49×48 / 5×4×3×2 = 311875200 / 120 = 2 598 960

Il y a 2 598 960 mains possibles de 5 cartes avec un jeu de 52 cartes.

Combien y a-t-il de fulls aux Rois par les Dames ?

C43 × C42 = 4 × 6 = 24

Il y a 24 fulls aux Rois par les Dames possibles.

Exemple 2 :

Quel est le nombre de combinaisons possibles pour choisir 5 nombres parmi 50 sans remise et sans tenir compte de l'ordre des tirages dans une première boite, puis en même temps pour choisir 2 numéros parmi 11 dans une seconde boite toujours sans remise et sans tenir compte de l'ordre (cela ne vous rappelle pas les règles d'un célèbre jeu ?).

C505 × C112 = [ (50 × 49 × 48 × 47 × 46) / (5 × 4 × 3 × 2) ] × [ (11 × 10) / 2 ] = 2118760 × 55 = 116 531 800 

Il y a 116 531 800 combinaisons possibles, soit une chance de gagner sur plus de 116 millions à ce célèbre jeu.

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