Probabilités conditionnelles

Compléter un arbre de probabilité conditionnelle à deux épreuves et calculer l'arbre inverse correspondant.

En utilisant la formule de Bayes : $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$

Probabilité conditionnelle

On considère un arbre pondéré à deux épreuves A et B, l'on connait les valeurs de $P(A)$, $P_A(B)$ et $P_{\overline{A}}(B)$. Il est alors possible de compléter l'arbre et même de l'inverser.

Pour compléter l'arbre, il suffit d'utiliser :

$P(\overline{E})=1-P(E)$

Pour inverser un arbre de probabilité, il faut calculer,en plus de P(B), $P_B(A)$ et pour cela utiliser la relation :

$P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)=P_B(A)\times P(B)$

Exemple : compléter un arbre de probabilité

On donne les valeurs suivantes : $P(A)=1/3$, $P_A(B)=5/7$ et $P_{\overline{A}}(B)=3/5$.

On obtient :

$P(\overline{A})=1-1/3=2/3$

$P_A(\overline{B})=1-5/7=2/7$

$P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-3/5=2/5$

Exemple : inverser un arbre de probabilité

$P(B)=1/3\times 5/7+2/3\times 3/5$

$P(B)=5/21+6/15$

$P(B)=(25+42)/105=67/105$

$P(\overline{B})=1-67/105=38/105$

$P_B(A)={\displaystyle \frac{P(B\cap A)}{P(B)}}$

$P_B(A)={\displaystyle \frac{5/21}{67/105}}$

$P_B(A)=5/21\times 105/67$

$P_B(A)=(5\times 105)/(21\times 67)$

$P_B(A)=25/67$ de là $P_B(\overline{A})=42/67$

$P_{\overline{B}}(A)={\displaystyle \frac{P(\overline{B}\cap A)}{P(\overline{B})}}$

$P_{\overline{B}}(A)={\displaystyle \frac{2/21}{38/105}}$

$P_{\overline{B}}(A)=2/21\times 105/38$

$P_{\overline{B}}(A)=5/19$ de là $P_{\overline{B}}(\overline{A})=14/19$