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Calculer le nombre d'arrangements
Le nombre d'arrangements d'une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (avec p ≤ n), noté `A_n^p `, est le nombre de p-listes possibles dans n objets. L'ordre de ces objets intervient. On a :
`A_n^p = n(n − 1)...(n − p + 1) = n! ÷ (n − p)!`
ou encore : `A_n^p = {n!}/{(n − p)!}`
Lorsque p = n, il s'agit alors du nombre de permutations de n éléments et le nombre de ces permutation est égal à n!
Remarque : n! s'appelle la factorielle n, où n est un entier. Elle est égale au produit de tous les entiers de 1 à n.
Par convention : 0! = 1 et 1! = 1
Exemple : 5! = 1×2×3×4×5 = 120
On note n! = 1×2×3×...×(n−1)×n
Le nombre Anp permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en tenant compte de l'ordre.
Combien y a-t-il d'arrangements possibles ?
Dans une boite contenant 20 boules numérotées de 1 à 20 (donc toutes discernables), on tire 3 boules sans remise et on note la série des 3 nombres obtenue en tenant compte de l'ordre.
Combien y a-t-il de possibilités de tirage ? Il y a `A_{20}^3` possibilités, soit 6 840 possibilités.
