Nombre d'arrangements A(n, p)

Le nombre d'arrangements d'une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (avec p ≤ n), noté $A_n^p$, est le nombre de p-listes possibles dans n objets. L'ordre de ces objets intervient. On a :

$A_n^p=n(n-1)\dots (n-p+1)=n!÷(n-p)!$

ou encore : $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$

Lorsque p = n, il s'agit alors du nombre de permutations de n éléments et le nombre de ces permutation est égal à n!

Remarque : n! s'appelle la factorielle n, où n est un entier. Elle est égale au produit de tous les entiers de 1 à n.

Par convention : 0! = 1 et 1! = 1

Exemple : 5! = 1×2×3×4×5 = 120

On note n! = 1×2×3×...×(n−1)×n

Le nombre A_n^p permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en tenant compte de l'ordre.

Combien y a-t-il d'arrangements possibles ?

Dans une boite contenant 20 boules numérotées de 1 à 20 (donc toutes discernables), on tire 3 boules sans remise et on note la série des 3 nombres obtenue en tenant compte de l'ordre.

Combien y a-t-il de possibilités de tirage ? Il y a $A_{20}^3$ possibilités, soit 6 840 possibilités.