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Déterminer l'équation cartésienne ou réduite d'une droite
L'outil ci-dessous permet de déterminer l'équation réduite et une équation cartésienne d'une droite à partir :
- des coordonnées de 2 points de la droite
ou
- des coordonnées d'un point de la droite et de son coefficient directeur
ou
- des coordonnées d'un point de la droite et d'un vecteur directeur de cette droite.
Pour trouver une équation d'une droite, il existe plusieurs cas :
1er cas : nous connaissons les coordonnées de deux points distincts de la droite. Par exemple A(-3;9) et B(4;-5).
Nous pouvons déterminer le coefficient directeurd de la droite, puis l'équation réduite de la droite :
coefficient directeur = ( −5 − 9 ) / ( 4 − (−3) ) = −14 / 7 = −2
On obtient alors : y = −2x + k, avec k constante réelle à déterminer.
Les coordonnées du point A, qui appartient à la droite, doivent vérifier l'équation. D'où :
9 = −2× (−3) + k et de là k = 9 − 6 = 9 − 6 = 3.
On obtient l'équation réduite de la droite (AB) : y = −2x + 3.
Nous pouvons aussi obtenir une équation cartésienne de la droite (AB) : −2x − y + 3 = 0.
2ème cas : Nous connaissons les coordonnées d'un point de la droite A(-3;9) et son coefficient directeur −2.
Nous pouvons déterminer l'équation réduite de la droite : y = −2x + k avec k une constante réelle que l'on détermine comme précédemment. On obtient alors y = −2x + 3 et de là son équation cartésienne −2x − y + 3 = 0.
3ème cas : Nous connaissons les coordonnées d'un point de la droite A(-3;9) et un vecteur directeur de coordonnées (1;−2).
A partir du vecteur directeur, nous pouvons déterminer le coefficient directeur égal à −2/1 = −2 et de là l'équation réduite de la droite : y = −2x + 3 et l'équation cartésienne de la droite : − 2x − y + 3 = 0.
Relation vecteur directeur et coefficient directeur :
- Si une droite a pour équation réduite y = mx + p, alors le vecteur de coordonnées (1;m) est un vecteur directeur de cette droite.
- Si une droite a pour équation cartésienne ax + by + c = 0, alors le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de cette droite.
