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Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admet une et une seule solution si son déterminant est non nul. Si le déterminant est nul, alors le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
Il existe 2 méthodes pour résoudre un système d'équations : la méthode par substitution et la méthode par combinaisons linéaires (voir exemples). L'outil a été amélioré : vous pouvez résoudre des systèmes à deux inconnues avec des coefficients sous la forme de fractions comme 3/4 !
Résolution par substitution
Le système est composé des deux équations suivantes :
2x + 3y = 5 (L1)
et
x − 2y = −1 (L2).
L'équation (L2) permet d'écrire : x = −1 + 2y.
On remplace x par −1 + 2y dans l'équation (L1) :
2(−1 + 2y) + 3y = 5
−2 + 4y + 3y = 5
7y = 5 + 2
7y = 7
y = 1
Puis on remplace y par la valeur obtenue dans l'équation (L1) :
2x + 3 × 1 = 5
2x + 3 = 5
2x = 5 − 3
x = 1
Le système a donc pour solution le couple (x;y) = (1;1).
Résolution par combinaisons linéaires
Le système est composé des deux équations suivantes :
5x − 2y = 4 (L1)
et
2x + 3y = 13 (L2)
Le déterminant est bien non nul : 5×3 − (−2)×2 .
En multipliant par 3 tous les coefficients de la première équation et par 2 tous les coefficients de la seconde, on obtient :
15x − 6y = 12 (L1)
4x + 6y = 26 (L2) .
Par addition membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :
15x + 4x = 12 + 26
19x = 38
x = 2.
En multipliant par 2 tous les coefficients de la première équation et par 5 tous les coefficients de la seconde, on obtient :
10x − 4y = 8 (L1)
10x + 15y = 65 (L2) .
Par soustraction membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :
15y + 4y = 65 − 8
19y = 57
y = 3.
Le système a pour solution, le couple (x;y) = (2;3)
Remarque : l'intérêt de calculer x et y séparément, c'est si l'on se trompe dans le premier calcul, on peut malgré tout avoir le bon résultat dans le deuxième.
Exemple de problème
Un viticulteur mélange deux vins pour la mise en bouteille. S'il fait son mélange avec 6 hectolitres du vin de bonne qualité et 4 hectolitres du moins bon vin, le résultat lui revient à 3,10 €/litre . S'il fait son mélange avec 8 hectolitres du vin de bonne qualité et 12 hectolitres du moins bon vin, le résultat lui revient à 2,90 €/litre. Quels sont les prix respectifs du vin de bonne qualité et du moins bon vin, qu'il veut mélanger ?
On note x le prix du vin de bonne qualité et y le prix du moins bon vin. Alors on obtient les équations suivantes :
6x + 4y = 10×3,10 , d'où 6x + 4y = 31 (on mélange 6 litres de vin de bonne qualité et 4 litres de vin de moins bonne qualité et on obtient 10 litres de vin à 3,10 €/litre, soit 31 €).
8x + 12y = 20×2,90 , d'où 8x + 12y = 58.
Il suffit de résoudre le système suivant :
6x + 4y = 31
8x + 12y = 58
On obtient avec l'outil x = 7/2 = 3,5 €/litre comme prix pour le vin de bonne qualité et y = 5/2 = 2,5 €/litre pour le vin de moins bonne qualité.
