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Système linéaire de n équations à n inconnues
L'outil est très efficace pour résoudre des systèmes d'équations à 4 ou 5 inconnues et même davantage !
Il suffit de rentrer les éléments successivement, séparés d'un espace, en effectuant ou non un retour charriot à chaque ligne. Vous pouvez entrer des fractions de la forme 3/4, celles-ci seront prises en compte.
Un système de n équations linéaires à n inconnues peut s'interpréter de façon matricielle.
Soit le système (S) suivant :
a11x1 + a12x1 +· · · + a1nx1n = b1
a21x1 + a22x2 +· · · + a2nx2n = b1
...
...
an1x1 + an2x1 +· · · + annxnn = bn
Le système (S) s'écrit sous la forme matricielle suivante :
A = ( a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann )
X = ( x1 et B = ( b1
x2 b2
. .
. .
. .
xn ) bn )
A est la matrice n×n des coefficients aij de (S), B la matrice n×1 des coefficients bi et X la matrice n×1 des inconnues xi alors :
le système (S) devient : AX = B
Système de dimension 3 (3 inconnues et 3 équations):
Exemple un système de dimension 3 :
5x + 4y + 3z = 12
8x + 2y − z = 9
7x + 2y + 4z = 13
Il suffit de déterminer les matrices A et B.
A =
5 4 3
8 2 -1
7 2 4
et B =
12
9
13
Alors en copiant/collant les matrices A et B, on obtient :
Le déterminant de la matrice A est non nul et est égal à -100, le système admet 3 solutions :
x1 = x = 1 ; x2 = y = 1 et x3 = z = 1
Système de dimension 4 (4 inconnues et 4 équations):
-x + z + t = 12
x - 2y + z - t = 9
x - z + t = 0
x + z - t = -7
Il faut bien penser au coefficients égaux à 0 !
Le système est équivalent à :
-1x + 0y + z + t = 12
1x - 2y + z - t = 9
1x + 0y - z + t = 0
1x + 0y + z - t = -7
La matrice A des coefficients est égale à :
A =
-1 0 1 1
1 -2 1 -1
1 0 -1 1
1 0 1 -1
et la matrice B est égale à
et B =
12
9
0
-7
Alors en copiant/collant les matrices A et B, on obtient :
Le déterminant de la matrice A est non nul et est égal à -8, le système admet 4 solutions :
x1 = x = -7/2
x2 = y = -8
x3 = z = 5/2
x4 = t = 6
Voici un outil de calcul dont je suis très satisfait. J'ai réussi à résoudre des systèmes de 4 ou 5 équations à 4 ou 5 inconnues très facilement. Une fois l'interface maitrisée, c'est très rapide et il fonctionne vraiment très bien. J'espère que vous me confirmerez cela.
Le 01/02/13 le webmaster
Merci infiniment pour cette page qui fonctionne parfaitement. Jai pu utiliser pour géoréférencer des données en X, Y, Z (4 points connus dans deux référentiels différents). J'ai pu appliquer les formules obtenues sur deux jeux de données et tout a parfaitement bien fonctionné. Merci encore.
Le 10/10/13 Robert
