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Système d'équations à 3 inconnues

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Calculateur de système à trois équations linéaires à trois inconnues

L'outil permet de résoudre des systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues. Il suffit de renseigner les valeurs des coefficients afin de déterminer s'il existe des solutions ou non. L'outil calcule les déterminants et les solutions des systèmes de trois équations à trois inconnues.

Si vous souhaitez utiliser des coefficients sous forme de fractions utilisez l'outil pour un système un n inconnues, il est adapté.



x + y + z =

x + y + z =

x + y + z =


Méthode du pivot de Gauss :

Résolution d'un système linéaire à 3 inconnues par la méthode du pivot de Gauss.

 

Soit le système à 3 inconnues suivant :

 

19x + 5y − 15z = 5 (1)

−4x − 12y + 8z = −3 (2)

4x + 10y + 3z = 4 (3)

 

19x + 5y − 15z = 5 (1)

−208/19y + 92/19z = −37/19 (2) ← (2)+4/19(1)

170/19y + 117/19z = 56/19 (3) ← (3)−4/19(1)

 

19x + 5y − 15z = 5 (1)

−208/19y + 92/19z = −37/19 (2)

263/26z = 141/104 (3) ← (3)+85/104(2)

 

19x + 5y − 15z = 5 (1)

−208/19y + 92/19z = −37/19 (2)

z = 141/1052 (3)

 

19x + 5y − 15z = 5 (1)

−208/19y = −12974/4997 (2) on reporte la valeur de z

z = 141/1052 (3)

 

19x + 5y − 15z = 5 (1)

y = 499/2104 (2)

z = 141/1052 (3)

 

19x = 12255/2104 (1) on reporte y et z

y = 499/2104 (2)

z = 141/1052 (3)

 

x = 645/2104 et y = 499/2104 et z = 141/1052

 

Le système admet une seule solution :

 

S = { (645/2104;499/2104;141/1052)}

Méthode de l'outil :

Soit le système suivant :

 

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

 

Soient les matrices 3×3 suivantes construites à partir du système :

 

M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

 

M1 =

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

 

M2 =

a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

 

M3 =

a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

 

Nous calculons le déterminant de la matrice M :

 

Det(M) =

a11(a22a33 − a32a23)

− a21(a12a33 − a32a13)

+ a31(a12a23 − a22a13)

 

Alors si Det(M) ≠ 0 alors les solutions sont :

xi = Det(Mi) / Det(M) pour 0 < i ≤ 3

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