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Calculer la moyenne géométrique G
La moyenne géométrique pondérée d'une série de n valeurs x1, x2, ... , xn dont les poids respectifs (ou coefficients) est la suite de nombres suivante : p1, p2, ... ,pn , est donnée par la formule :
`\ ^{(p_{1} + . . . + p_{n})}\sqrt{x_{1}\times . . . \times x_{n}}`
Si tous les poids sont égaux, alors la formule devient :
`\ ^{n}\sqrt{x_{1}\times . . . \times x_{n}}`
Exemple de l'utilisation de la moyenne géométrique :
Moyenne de rendements
Imaginons un portefeuille d'actions de 10 000 €, dont le rendement est de 50% la première année, et puis baisse de 6% chaque année.
Quel est le rendement moyen mensuel ?
Les rendements sont égaux respectivement à 1,50 ; 1,44 ; 1,38 ; 1,32 ; 1,26 ; 1,20 ; 1,14 ; 1,08 ; 1,02 ; 0,96 .
La moyenne arithmétique des rendements est égale à : 1,23. De là, nous pourrions hypothétiquement spéculer sur la valeur à 10 ans de ce portefeuille et nous donnerions comme réponse 10 000 × 1,2310 = 79 259,46€.
Alors que si nous calculons sa valeur année après année, le résultat final est de : 71 723,02€
Détails des calculs :
10000 × 1,50 = 15000 ; 15000 × 1,44 = 21600 ; 21600 × 1,38 = 29808 ; 29808 × 1,32 = 39346,56 ; 39346,56 × 1,26 = 49576,66 ; 49576,66 × 1,20 = 59491,99 ; 59491,99 × 1,14 = 67820,87 ; 67820,87 × 1,08 = 73246,54 ; 73246,54 × 1,02 = 74711,47 ; 74711,47 × 0,96 = 71723,02
(les résultats sont donnés tronqués à 10-2).
La moyenne arithmétique des rendements mène donc à un résultat faux.
Que nous donne la moyenne géométrique ?
Renseignons l'outil avec la série des rendements (1,50 ; 1,44 ; 1,38 ; 1,32 ; 1,26 ; 1,20 ; 1,14 ; 1,08 ; 1,02 ; 0,96), ici les poids sont identiques.
L'outil nous donne comme moyenne géométrique 1,2177716438104. Appliquons cette moyenne : 10 000 × 1,217771643810410 = 71 723,02€.
C'est donc la moyenne géométrique qu'il faut utiliser si l'on souhaite calculer une moyenne de rendements.
Exemple par défaut du calculateur :
Supposons que la valeur d'une action progresse de 30% chaque mois pendant 3 mois, de 50% pendant 2 mois et perd 10% chaque pendant le reste de l'année. Quel est son rendement moyen par mois ?
(3+2+7)√(1,303×1,502×0,907)
= 12√2,364341150925
= 1,0743418949117.
La moyenne géométrique des 3 valeurs pondérées de leurs nombres de mois respectifs est égale à : 1,0743418949117.
On peut dire que l'action a eu un rendement moyen de 7,43% par mois au cours de l'année.
