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Calcul Moyenne Géométrique

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Outils de statistique : moyenne simple (sans coeff.) - moyenne de notes (avec coeff.) - moyenne géométrique - moyenne harmonique - variance - covariance - écart type - médiane - régression linéaire - histogramme - moyenne BAC 2021

Calculer la moyenne géométrique G

La moyenne géométrique pondérée d'une série de n valeurs x1, x2, ... , xn dont les poids respectifs (ou coefficients) est la suite de nombres suivante : p1, p2, ... ,pn , est donnée par la formule :

`\ ^{(p_{1} + . . . + p_{n})}\sqrt{x_{1}\times . . . \times x_{n}}`

Si tous les poids sont égaux, alors la formule devient :

`\ ^{n}\sqrt{x_{1}\times . . . \times x_{n}}`

exemple : 1,30; 1,50; 0,90

exemple 3; 2; 7

tous les poids sont identiques

 

Exemple de l'utilisation de la moyenne géométrique :

Moyenne de rendements

Imaginons un portefeuille d'actions de 10 000 €, dont le rendement est de 50% la première année, et puis baisse de 6% chaque année.

Quel est le rendement moyen mensuel ?

Les rendements sont égaux respectivement à 1,50 ; 1,44 ; 1,38 ; 1,32 ; 1,26 ; 1,20 ; 1,14 ; 1,08 ; 1,02 ; 0,96 .

La moyenne arithmétique des rendements est égale à : 1,23. De là, nous pourrions hypothétiquement spéculer sur la valeur à 10 ans de ce portefeuille et nous donnerions comme réponse 10 000 × 1,2310 = 79 259,46€.

Alors que si nous calculons sa valeur année après année, le résultat final est de : 71 723,02€

Détails des calculs :

10000 × 1,50 = 15000 ; 15000 × 1,44 = 21600 ; 21600 × 1,38 = 29808 ; 29808 × 1,32 = 39346,56 ; 39346,56 × 1,26 = 49576,66 ; 49576,66 × 1,20 = 59491,99 ; 59491,99 × 1,14 = 67820,87 ; 67820,87 × 1,08 = 73246,54 ; 73246,54 × 1,02 = 74711,47 ; 74711,47 × 0,96 = 71723,02

(les résultats sont donnés tronqués à 10-2).

La moyenne arithmétique des rendements mène donc à un résultat faux.

Que nous donne la moyenne géométrique ?

Renseignons l'outil avec la série des rendements (1,50 ; 1,44 ; 1,38 ; 1,32 ; 1,26 ; 1,20 ; 1,14 ; 1,08 ; 1,02 ; 0,96), ici les poids sont identiques.

L'outil nous donne comme moyenne géométrique 1,2177716438104. Appliquons cette moyenne : 10 000 × 1,217771643810410 = 71 723,02€.

C'est donc la moyenne géométrique qu'il faut utiliser si l'on souhaite calculer une moyenne de rendements.

Exemple par défaut du calculateur :

Supposons que la valeur d'une action progresse de 30% chaque mois pendant 3 mois, de 50% pendant 2 mois et perd 10% chaque pendant le reste de l'année. Quel est son rendement moyen par mois ?

(3+2+7)√(1,303×1,502×0,907)

= 12√2,364341150925

= 1,0743418949117.

La moyenne géométrique des 3 valeurs pondérées de leurs nombres de mois respectifs est égale à : 1,0743418949117.

On peut dire que l'action a eu un rendement moyen de 7,43% par mois au cours de l'année.

 moyenne geometrique

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