Calculer la moyenne géométrique G
Calculer la moyenne géométrique, pondérée ou non, d'une série de valeurs.
La moyenne géométrique pondérée d'une série de n valeurs x1, x2, ... , xn dont les poids respectifs (ou coefficients) est la suite de nombres suivante : p1, p2, ... ,pn , est donnée par la formule :
Si tous les poids sont égaux, alors la formule devient :
Exemple de l'utilisation de la moyenne géométrique :
Moyenne de rendements
Imaginons un portefeuille d'actions de 10 000 €, dont le rendement est de 50% la première année, et puis baisse de 6% chaque année.
Quel est le rendement moyen mensuel ?
Les rendements sont égaux respectivement à 1,50 ; 1,44 ; 1,38 ; 1,32 ; 1,26 ; 1,20 ; 1,14 ; 1,08 ; 1,02 ; 0,96.
La moyenne arithmétique des rendements est égale à : 1,23. De là, nous pourrions hypothétiquement spéculer sur la valeur à 10 ans de ce portefeuille et nous donnerions comme réponse 10 000 × 1,2310 = 79 259,46€.
Alors que si nous calculons sa valeur année après année, le résultat final est de : 71 723,02€
Détails des calculs :
10000 × 1,50 = 15000 ; 15000 × 1,44 = 21600 ; 21600 × 1,38 = 29808 ; 29808 × 1,32 = 39346,56 ; 39346,56 × 1,26 = 49576,66 ; 49576,66 × 1,20 = 59491,99 ; 59491,99 × 1,14 = 67820,87 ; 67820,87 × 1,08 = 73246,54 ; 73246,54 × 1,02 = 74711,47 ; 74711,47 × 0,96 = 71723,02
(les résultats sont donnés tronqués à 10-2).
La moyenne arithmétique des rendements mène donc à un résultat faux.
Que nous donne la moyenne géométrique ?
Renseignons l'outil avec la série des rendements (1,50 ; 1,44 ; 1,38 ; 1,32 ; 1,26 ; 1,20 ; 1,14 ; 1,08 ; 1,02 ; 0,96), ici les poids sont identiques.
L'outil nous donne comme moyenne géométrique 1,2177716438104. Appliquons cette moyenne : 10 000 × 1,217771643810410 = 71 723,02€.
C'est donc la moyenne géométrique qu'il faut utiliser si l'on souhaite calculer une moyenne de rendements.
Exemple par défaut du calculateur :
Supposons que la valeur d'une action progresse de 30% chaque mois pendant 3 mois, de 50% pendant 2 mois et perd 10% chaque pendant le reste de l'année. Quel est son rendement moyen par mois ?
(3+2+7)√(1,303×1,502×0,907)
= 12√2,364341150925
= 1,0743418949117.
La moyenne géométrique des 3 valeurs pondérées de leurs nombres de mois respectifs est égale à : 1,0743418949117.
On peut dire que l'action a eu un rendement moyen de 7,43% par mois au cours de l'année.
Questions fréquentes
Insérer des moyens géométriques
Comment peut-on insérer 5 moyens géométriques entre 2 et 1458 ? Quelle est la démarche à suivre pour les calculer ?
Réponse du Webmaster :
Insérer 5 moyens géométriques entre 2 et 1458 revient à construire une suite géométrique de 7 termes au total :2, x1, x2, x3, x4, x5, 1458
Il s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme 2, de raison r, et de 7 termes. Le 7e terme vaut 1458.
Utiliser la formule du terme général
La formule du n-ième terme d'une suite géométrique est :
un = u1 × r^(n - 1)
Ici, on a :
u7 = 2 × r^6 = 1458
Donc r^6 = 1458 ÷ 2 = 729
Calcul de la raison r
On cherche la racine 6e de 729.
Or 729 = 3^6, donc :
r = 3
Calcul des termes de la suite
On utilise la raison r = 3 pour calculer les termes intermédiaires :
u1 = 2
u2 = 2 × 3 = 6
u3 = 6 × 3 = 18
u4 = 18 × 3 = 54
u5 = 54 × 3 = 162
u6 = 162 × 3 = 486
u7 = 486 × 3 = 1458
Les 5 moyens géométriques entre 2 et 1458 sont :
6, 18, 54, 162, 486
