Aire d'un secteur sphérique (calotte)

Un secteur sphérique est une portion de la surface d'une sphère délimitée par une hauteur h. Soit :

• O : le centre de la sphère.
• r : le rayon de la sphère.
• h : la hauteur du secteur sphérique (distance perpendiculaire depuis la base circulaire jusqu’au sommet).

Formule de l'aire :

L'aire de la surface du secteur sphérique est donnée par la formule :

ou sous forme textuelle :

Aire = $2\pi \times r\times h$

Calcul du rayon apparent du secteur sphérique :

Le rayon apparent a du secteur sphérique est donné par la formule :

ou sous forme textuelle :

a = $\surd [r\mathrm{²}-(r-h)\mathrm{²}]$

L'aire s'exprimera dans l'unité au "carré" du rayon de la sphère. Par exemple, si vous choisissez d'exprimer sa valeur en cm, la valeur de l'aire obtenue s'exprimera en cm².

Exemple de calcul :

Soit une sphère avec :

• Rayon (r) = 10 cm.
• Hauteur (h) = 4 cm.

Étape 1 : Calcul de l’aire du secteur sphérique

Utilisons la formule :

Aire = $2\pi \times r\times h$

Aire = $2\pi \times 10\times 4$

Aire = $80\pi$

En approximant $\pi \approx \mathrm{3,14159}$ :

Aire ≈ $80\times \mathrm{3,14159}=\mathrm{251,33}cm\mathrm{²}$

Étape 2 : Calcul du rayon apparent (a)

Utilisons la formule :

a = $\surd [r\mathrm{²}-(r-h)\mathrm{²}]$

a = $\surd [10\mathrm{²}-(10-4)\mathrm{²}]$

a = $\surd [100-6\mathrm{²}]$

a = $\surd [100-36]$

a = $\surd 64=8cm$

Conclusion :

L'aire de ce secteur sphérique est d’environ 251,33 cm² et son rayon apparent est 8 cm.