Calculis

Calculer l'aire (de la surface) d'un segment de disque

Soit [AB] une corde d'un cercle (C) de centre O et de rayon [OA]. La surface définie par la corde [AB] et l'arc AB est un segment de disque. L'aire de la surface du segment est égale à l'aire du secteur angulaire moins l'aire du triangle isocèle OAB.

L'aire du segment est égale à : `{ π × α × R^2 } / 360 − 1/2 R^2 \sin(α)` avec `α` en degré et ≤ 180

ou `1/2( α × R^2 ) − 1/2 R^2 \sin(α) = 1/2 R^2 (α − \sin(α))` avec `α` en radian et ≤ π

Il suffit de rentrer 2 valeurs sur 4.

L'aire s'exprimera dans l'unité au "carré" du rayon du disque ou des longueurs données. Par exemple si vous choisissez d'exprimer sa valeur en cm, la valeur de l'aire obtenue s'exprimera en cm².

Aire du triangle isocèle OAB:

`Aire_{OBC} = 1/2 R^2 \sin α`

Démonstration :

En appliquant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle OHA avec OH = R − h on obtient :

(R – h) = R cos(α/2)

½AB = R sin(α/2)

Alors en appliquant la formule de l'aire du triangle :

½ (R − h) × AB = R cos(α/2) × R sin(α/2) = R² cos(α/2)sin(α/2)

Et en utilisant sin(a) cos(b) = ½ [ sin(a + b) + sin(a − b) ] et a = b = α / 2

Finalement on obtient : R² cos(α/2) × sin(α/2) = R² ½ sin α

Longueur de la corde

En fonction du rayon R et de l'angle alpha α :

`c = 2R × \sin(α / 2)`

En fonction du rayon R et de la flèche h :

`c = 2\sqrt{(2R − h)h}`

Démonstration :

On applique la relation de Pythagore et on obtient :

c/2 = √[ R² − (R − h)² ]

c = 2√[ R² − (R − h)² ] = 2√[ R² − R² + 2Rh − h² ] = 2√[ 2Rh − h² ] = 2√[ h(2R − h) ]

Rayon du secteur angulaire

Formule en fonction de la flèche h et la longueur de la corde :

`R = {4h^2 + c^2}/{8h}`

Démonstration :

On applique la relation de Pythagore et on obtient :

R² − (R − h)² = c²/4

h(2R − h) = c²/4

2R = c²/4h + h

R = c²/8h + h/2 = (c² + 4h²) / 8h

Flèche (Hauteur) h

En fonction du rayon R et de la corde c :

`h = R – \sqrt{R^2 – {c^2}/4}`

Démonstration :

On applique la relation de Pythagore et on obtient :

c²/4 + (R − h)² = R²

(R − h)² = R² − c²/4

(R − h) = √(R² – c²/4)

h = R – √(R² – c²/4)